2015년 11월 14일 (10:00-13:00)
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다음 극한을 구하여라.\[\lim_{n\to\infty}\left(1+\log\frac{n}{n-1}\right)^n\]
양의 정수 $d$에 대하여 임의의 실계수 다항식 $\phi(x,y)=\sum_{i=0}^{2d}a_i x^i y^{2d-i}$는 다음 등식을 만족함을 보여라. \[ \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)^d \left(y\frac{\partial \phi}{\partial x}\right) = \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)^d\left(x\frac{\partial \phi}{\partial y}\right)\]
양의 정수 $n$($n\ge 3$)에 대하여 크기가 $n^2\times n^2$인 행렬 $A=(a_{ij})$가 다음과 같이 주어진다. \[ a_{ij}=\begin{cases}1,&\text{$i+j$가 $n$의 배수인 경우}\\0,&\text{$i+j$가 $n$의 배수가 아닌 경우}\end{cases}\] 이 때, $A$의 모든 고유치와 각 고유치에 해당되는 고유공간의 차원을 구하여라.
크기가 $100\times100$인 실행렬들로 이루어진 실벡터공간을 $V$라고 하자. 행렬 $A\in V$에 대하여 $V$의 부분공간 $\{B\in V\mid AB=BA\}$의 차원을 $d_A$라고 하자. 행렬 $A\in V$가 등식 \[ A^4-5A^2+4I=0\]을 만족할 때, $d_A$의 최솟값을 구하여라. (단, $I$는 단위행렬)
미분가능한 함수 $f:\mathbb R\to\mathbb R$가 다음 조건을 만족한다. \begin{align*} \lim_{x\to \infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}f(x)&=0, \\\int_{-\infty}^\infty \lvert f(x)\rvert^2&\lt \infty,\int_{-\infty}^\infty \lvert f'(x)\rvert^2&\lt \infty.\end{align*} 다음 부등식을 증명하여라. \[ \max_{x\in \mathbb R} \lvert f(x)\rvert \le \left( \int_{-\infty}^\infty \lvert f(x)\rvert^2\,dx\right)^{\frac{1}{4}}\left( \int_{-\infty}^\infty \lvert f'(x)\rvert^2\,dx\right)^{\frac{1}{4}}.\]
차수가 $1$ 이상이고 (다항식이) 서로소인 실계수 다항식 $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$가 어떤 양의 정수 $d$에 대하여 다음 등식을 만족한다. \[x(t)^d+y(t)^d=z(t)^d.\] 이 때, $x(t)^{d-1}$은 $y(t)z'(t)-z(t)y'(t)$를 나누고, $d$는 $2$ 이하임을 보여라.
크기가 $2\times 2$인 실대칭행렬 $A$, $B$의 고유치가 각각 $\lambda_1$, $\lambda_2$ ($\lambda_1\ge \lambda_2\ge 0$)와 $\mu_1$, $\mu_2$ ($\mu_1\ge \mu_2\ge 0$)라고 하자. 이 때, 다음 부등식을 증명하여라. \[ \operatorname{tr}(AB)\le \lambda_1\mu_1+\lambda_2\mu_2.\]
양의 정수 $n$에 대하여 크기가 $n\times n$인 실행렬 $M$이 $M^T M=I$를 만족하면 직교행렬이라고 하고, $PMP^{-1}$가 직교행렬이 되는 실가역행렬 $P$가 존재하면 $M$을 `닮은 직교행렬’이라 한다. (단, $M^T$는 $M$의 전치행렬, $I$는 단위행렬)
(i) 고유치가 모두 양수인 실대칭행렬 $S$에 대하여, $A^T SA=S$를 만족하는 행렬 $A$는 `닮은 직교행렬’임을 보여라.
(ii) 행렬 $A$, $B$에 대하여 $A$와 $\begin{pmatrix} A&0\\0&B\end{pmatrix}$가 모두 `닮은 직교행렬’이면 $B$도 `닮은 직교행렬’임을 보여라.
다음 적분값을 계산하여라. \[ \int_0^\infty \left(x^2+1-x\sqrt{x^2+2}\right)\,dx\]
양의 정수 $n$에 대하여 크기가 $n\times n$인 행렬 $A=(a_{ij})$가 $a_{ij}=\max \{i,j\}$로 주어질 때, $\det(A)$를 구하여라.
급수 $\sum_{n=1}^\infty \left((2n+1)e^{-\frac{1}{n}}-(2n-1)\right)$의 수렴 여부를 판정하여라.
모든 성분이 유리수이고 크기가 $5\times 5$인 행렬 $A$의 한 고유벡터가 $(1,\sqrt2,\sqrt3,\sqrt4,\sqrt5)^T$이다. 이 때, $A^T$는 모든 성분이 유리수인 고유벡터를 가짐을 보여라. (단, $A^T$는 $A$의 전치행렬)
무한 번 미분가능한 함수 $f:(-1,\infty)\to \mathbb R$가 모든 양의 정수 $n$에 대하여, $f\left(\frac1n\right)=\frac{n}{n+1}$을 만족할 때 $f”'(0)$을 구하여라.
함수 $f:[a,b]\to\mathbb R$가 연속일 때, 다음을 만족하는 상수 $c\in[a,b]$가 존재함을 보여라. \[ \int_a^b f(x)e^x\,dx=e^a\int_a^c f(x)\,dx+e^b\int_c^b f(x)\,dx\]
양의 정수 $n$에 대하여 크기가 $n\times n$인 복소행렬 $A=(a_{ij})$가 다음 조건을 만족한다.
(i) $a_{ii}=1$ ($1\le i\le n$)
(ii) $a_{ij}=0$ ($1\le j\lt i\le n$)
(iii) $\overline{A} A=I$
이 때, 다음 조건을 만족하는 크기가 $n\times n$인 복소행렬 $B=(b_{ij})$가 존재함을 보여라.
(i) $a_{ii}=1$ ($1\le i\le n$)
(ii) $a_{ij}=0$ ($1\le j\lt i\le n$)
(iii) $\overline{B} A=B$
(단, $\overline A=(\overline{a_{ij}})$, $I$는 단위행렬)
양의 정수 $n$에 대하여 크기가 $n\times n$인 실행렬 $X=(x_{ij})$의 성분 $x_{ij}$들은 $X$가 가역인 범위에 있다고 가정하자. 역행렬 $Y=X^{-1}=(y_{pq})$의 성분을 \[ y_{pq}=y_{pq} (x_{11},x_{12},\ldots,x_{nn})\]과 같이 변수 $x_{ij}$에 대한 함수로 생각할 때, 다음을 보여라. \[\frac{\partial y_{pq}}{\partial x_{ij}}=-y_{pi}y_{jq}.\]