2016년 11월 19일 10:00-13:00
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다음 극한값을 구하여라 (단, $\log$는 자연로그). \[ \lim_{n\to\infty} \frac1n \log\left( \sum_{k=2}^{2^n} k^{ (n^{-2})}\right)\]
수열 $\{a_n\}_{n\ge 1}$은 감소하는 실수열이고 $\lim_{n\to\infty}a_n=0$이다. 모든 양의 정수 $k$에 대하여 $S_{2^k}-2^ka_{2^k} \le 1$을 만족할 때 \[ \sum_{n=1}^\infty a_n\le 1\]이 성립함을 보여라 (단, $S_m=\sum_{n=1}^m a_n$은 수열 $\{a_n\}_{n\ge 1}$의 $m$번째 항까지의 부분합).
양의 정수 $m$, $n$에 대하여 크기가 $m\times n$인 실행렬 $A$가 주어져 있다.
(1) 행렬 $X=I_m+AA^T$와 $Y=I_n+A^TA$는 가역임을 보여라.
(2) $\operatorname{tr}(X^{-1})-\operatorname{tr}(Y^{-1})$의 값을 구하여라.
(단, $A^T$는 $A$의 전치행렬, 양의 정수 $\ell$에 대하여 $I_\ell$은 크기가 $\ell\times\ell$인 단위행렬)
연속함수 $f:[-\frac\pi4 ,\frac\pi4]\to [-1,1]$가 구간 $(-\frac\pi4,\frac\pi4)$에서 미분가능할 때, 다음 부등식을 만족하는 점 $x_0$가 구간 $(-\frac\pi4,\frac\pi4)$에 존재함을 보여라. \[ \lvert f'(x_0)\rvert \le 1+f(x_0)^2\]
함수 $f(x)=\cos \left( \frac{3\sqrt{3}\pi}{8} (x-x^3)\right)$에 대하여 다음 값을 구하여라. \[ \lim_{t\to \infty} \left( \int_0^1 f(x)^t \,dx\right)^{\frac1t}+\lim_{t\to -\infty} \left( \int_0^1 f(x)^t \,dx \right)^{\frac1t}\]
크기가 $2\times 2$인 실행렬 $A$, $B$가 \[ \det A=\det B=1, \operatorname{tr} A \gt 2, \operatorname{tr} B\gt 2, \operatorname{tr} (ABA^{-1}B^{-1})=2\]를 만족할 때, $A$와 $B$는 공통의 고유벡터를 가짐을 보여라.
양의 실수 $M$에 대하여 연속함수 $f:[0,\infty]\to [0,M]$가 \[ \int_0^\infty (1+x)f(x)\,dx \lt \infty \]를 만족할 때, 다음 부등식을 증명하여라. \[ \left(\int_0^\infty f(x)\,dx\right)^2 \le 4M \int_0^\infty x f(x)\,dx\]
양의 정수 $n$에 대하여 크기가 $n\times n$인 복소행렬 $A$가 주어져 있다. 다음 두 조건이 동치임을 보여라.
(i) $AB-BA=A$를 만족하는 크기가 $n\times n$인 복소행렬 $B$가 존재한다.
(ii) $A^k=O$을 만족하는 양의 정수 $k$가 존재한다 (단, $O$는 영행렬).