2017 제36회 전국 대학생 수학경시대회

2017년 11월 18일 토요일 10:00-13:00

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집합 $S=\{1,2,\ldots,201\}$의 원소들을 성분으로 가지는 모든 $n\times n$ 행렬들의 집합을$T$라고 하자. 다음 값을 계산하여라. (단, $n$은 $2$ 이상의 양의 정수이다.) \[ \sum_{A\in T} \det(A)\]

임의의 실계수 다항식 $f(x,y)$는 $(x+ay)^k$ 꼴의 다항식들의 실계수 일차결합으로 표현됨을 보여라. (단, $a$는 임의의 실수, $k$는 $0$ 이상의 정수이다.)

수열 $\{a_n\}$이 $a_1>1$이고 점화식 $a_{n+1}=1+\frac{n^2}{a_n}$을 만족할 때, 극한 $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}$을 구하여라.

실계수 3차 다항식 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$에 대하여 방정식 $f(x)=0$의 세 근을 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$라 하자. 세 근 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$가 서로 다른 세 실수이기 위한 필요충분조건은 실대칭행렬 \[\begin{pmatrix}3&p_1&p_2\\p_1&p_2&p_3\\p_2&p_3&p_4\end{pmatrix}\]이 양의 정부호(positive definite)임을 보여라. (단, $p_i=\alpha^I+\beta^I+\gamma^I$이다.)

다음 극한을 계산하여라.  \[ \lim_{n\to\infty}\sqrt{n} \int_0^\pi \sin^n x\,dx\]

양의 정수 $n$에 대하여 $n\times n$ 실행렬 $A$는 모든 성분이 $1$인 행렬 $J$에 대하여 다음을 만족한다. \[ A+A^T=\frac1n J, ~ AJ=\frac12 J\] 모든 양의 홀수 $m$에 대하여 $A^m-I$가 가역행렬임을 보여라. (단, $A^T$는 $A$의 전치행렬이다.)

수열 $\{a_n\}$은 모든 항이 양수인 감소하는 수열이고, $0<\theta<\frac\pi2$이다. 다음이 성립함을 보여라. \[ \left\lvert \sum_{n=1}^{2017} a_n \cos n\theta\right\rvert \le \frac{\pi a_1}\theta\]

다음 미분방정식의 해를 $u(t)$라고 하자. \[ \begin{cases} u”(t)+u'(t)=\sin u(t) \quad (t>0),\\ u(0)=1, ~ u'(0)=0 \end{cases}\]

(1) 함수 $u(t)$와 $u'(t)$가 $t>0$인 범위에서 유계임을 보여라.

(2) 극한 $\lim_{t\to \infty} u(t)$를 구하여라.

차수가 3 이하인 모든 실계수 다항식으로 이루어진 실벡터공간을 $V$라 하고 선형사상 $T:V\to V$를 다음과 같이 정의한다.

$T(P(x))=x^4 P(x)$를 $(x-1)^2(x+1)^2$으로 나눈 나머지

이 때, $T$의 특성다항식을 구하여라.

다음 미분방정식의 해 $u(t)$를 구하여라.\[ \begin{cases} u'(t)&=-u(t)+u(t)^2 e^t\qquad (t>0),\\ w(0)&=-1\end{cases}\]

양의 정수 $n$에 대하여 $n\times n$ 실행렬 $A$가 $A^{n+1}=O$를 만족하면 $A^n=O$임을 보여라. (단, $O$는 영행렬이다.)

계수가 유리수인 다항식 $f(x,y)$는 임의의 정수 $m$, $n$에 대하여 $f(m,n)$이 정수이다. 이 때, 다항식 $f(x,y)$는 적당한 정수 $c_{ij}$에 대하여 다음과 같이 표현됨을 보여라. \[ f(x,y)=\sum_{i,j\ge 0}c_{ij}\binom{x}{i}\binom{y}{j}\] (단, $\binom{x}{i}=\frac{x(x-1)\cdots (x-i+1)}{i!}$이고 $\binom{x}{0}=1$이다.)

행렬 $\begin{pmatrix} 2&3&3\\0&3&3\\4&4&4\end{pmatrix}$에 대하여 실행렬 $B$가 $AB=BA$를 만족하면 적당한 실수 $a$, $b$, $c$에 대하여 \[ B=aA^2+bA+cI\]가 성립함을 보여라.

양의 정수 $n$($n\ge 3$)에 대하여 $n\times n$ 실행렬 $A=(a_{ij})$가 다음 조건을 만족하면 $A$는 가역행렬임을 보여라.

(i) 모든 $i$, $j$에 대하여 $a_{ij}>0$이다.

(ii) 모든 $I$에 대하여 $2a_{ii}=\sum_{j=1}^n a_{ij}$이다.

수열 $\{a_n\}$은 모든 항이 양수인 감소하는 수열이고, $0<\theta<\frac\pi2$이다. 다음이 성립함을 보여라.\[ \left\lvert \sum_{n=1}^{2017} a_n\cos n\theta\right\rvert\le \frac{\pi a_1}{\theta}\]

다음 극한값을 구하여라.\[ \lim_{n\to\infty} n\int_0^{\frac\pi2} (1-\sin x)^n \,dx\]

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