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부등식 \[3x^2+y^2\ge -ax(x+y)\]가 모든 실수 $x$, $y$에 대해 성립하게 할 실수 $a$를 모두 구하여라.
(2013년 3월 7일, 4시간, 출처)

$a_1=1$이고 모든 $n\ge1$에 대해 \[a_{n+1}=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}+1\]인 수열 $a_1,a_2,\ldots$이 주어져있다. 이때 임의의 양의 실수 $\beta$에 대해 $\alpha_k \lt \beta k$인 k가 존재함을 증명하라.
(2013년 3월 7일, 4시간, 출처)

예각삼각형 $T$의 제일 긴 변의 길이를 $s$라 하자. 이때 삼각형 내부의 임의의 점 $P$에 대해, $P$에서 거리가 $s/\sqrt{3}$이하인 $T$의 꼭지점이 존재함을 증명하라.
(2013년 3월 7일, 4시간, 출처)

소수 $p\ge 5$에 대해 \[\frac13+\frac24+\cdots+\frac{p-3}{p-1}=\frac{a}{b}\]라고 양의 정수 $a$, $b$를 정의한다. 이때 $a$가 $p$의 배수임을 보여라.
(2013년 3월 7일, 4시간, 출처)

정2013각형의 서로 다른 네 꼭지점의 순서쌍 $(P_1,P_2,P_3,P_4)$에 대해 선분 $P_1P_2$가 선분 $P_3P_4$를 만나면 이 순서쌍을 교차하는 순서쌍이라 하자. 정2013각형에는 교차하는 순서쌍이 몇 개나 있는가?
(2013년 3월 7일, 4시간, 출처)

정수 $a,b,c\ge 2$에 대해 $a\cdot b\cdot c$개의 정육면체 상자를 쌓아서 가로 $a$, 세로 $b$, 높이 $c$인 직육면체를 만들었다. 그 상자 중 어떤 상자에 꿀벌이 있었다고 한다. 이 꿀벌은 한 상자에서 다른 상자로 정육면체의 면에 난 구멍을 통해 이동할 수 있다. 단 꿀벌은 정육면체의 변이나 모서리를 통해 이동할 수는 없다고 한다. 한편 이 꿀벌은 만들어진 직육면체 바깥으로는 날아가지 않는다고 한다. 이때 이 꿀벌이 모든 상자를 정확히 한번씩 지나고 시작 지점으로 되돌아오는 것이 가능한 모든 $(a,b,c)$의 순서쌍을 구하여라.
(2013년 3월 7일, 4시간, 출처)