The Niels Henrik Abel mathematics competition 2015–2016
2016년 3월 1일.
출처: https://abelkonkurransen.no/en/problems/
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정수의 수열이 모든 $i$에 대해 $a_{i+1}=a_i\pm 1$이면 그 수열을 걷기수열이라 부르자. 이때, 다음 조건을 만족하는 어떤 수열 $b_1$, $b_2$, $\ldots$, $b_{2016}$이 존재함을 보여라: 모든 $i$에 대해 $1\le a_i\le 1010$인 모든 걷기수열 $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{2016}$에 대해, $a_j=b_j$인 어떤 $j$가 존재한다.
(a) $a\le b$, $c\le d$이며 \begin{align*} a+b&=cd\\ c+d&=ab\end{align*}을 만족시키는 모든 양의 정수 $a$, $b$, $c$, $d$를 구하라.
(b) 다음 식 \[x^3+2y^3+4z^3=9!\]을 만족시키는 모든 음 아닌 정수 $x$, $y$, $z$를 구하여라.
(a) 중심이 각각 $A$, $B$, $C$인 세 원 $S_A$, $S_B$, $S_C$가 서로 외접한다. 원 $S_A$와 $S_B$가 접하는 점을 $C’$, 원 $S_A$와 $S_C$가 접하는 점을 $B’$, 원 $S_B$와 $S_C$가 접하는 점을 $A’$이라 하자. 두 원 $S_A$, $S_C$에 공통으로 접하는 ($B’$를 지나는) 직선을 $\ell_B$라 하자. 마찬가지로 두 원 $S_B$와 $S_C$에 공통으로 접하는 ($A’$를 지나는) 직선을 $\ell_A$라 하자. 두 직선 $\ell_A$와 $\ell_B$가 만나는 점을 $X$라 하자. 그리고 $\angle XBY$와 $\angle YAX$가 모두 직각이 되는 점 $Y$를 잡자. 이때 세 점 $X$, $Y$, $C’$가 한 직선 위에 있을 필요충분조건은 $AC=BC$임을 보여라.
(b) $AB\lt AC$인 예각삼각형 $ABC$이 있다. 직선 $BC$ 위에 두 점 $A_1$, $A_2$를 잘 잡아서 $AA_1$은 각 $A$의 내각이 이등분선이 되고, $AA_2$는 각 $A$의 외각의 이등분선이 되었다. 점 $A_2$를 점 $C$에 대칭시켜 얻은 점을 $A_3$라 하며 $\angle A_1QA_3=90^\circ$가 되는 직선 $AA_1$ 위의 점을 $Q$라 하자. 이때 $QC$와 $AB$는 평행함을 보여라.
모든 서로 다른 실수 $x$, $y$에 대해 \[ f(x)f(y)= \lvert x-y\rvert \cdot f\left( \frac{xy+1}{x-y}\right)\]를 만족시키는 모든 함수 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$을 구하라.