The Niels Henrik Abel mathematics competition 2016–2017 최종라운드
2017년 3월 7일, 문제 출처
loading...
(a) 모든 실수 $x$, $y$에 대해 \[ f(x)f(y)=f(xy)+xy\]를 만족시키는 함수 $f:\mathbb R\to\mathbb R$을 모두 구하라.
(b) 모든 실수 $x$, $y$에 대해 \[ f(x)f(y)=f(x+y)+xy\]를 만족시키는 함수 $f:\mathbb R\to\mathbb R$을 모두 구하라.
수열 $a_n$이 $a_0=2$, $a_1=15$이고 음 아닌 모든 정수 $n$에 대해 $a_{n+2}=15a_{n+1}+16a_n$으로 정의되었다고 한다. 이때, $a_k$가 269의 배수가 되는 정수 $k$가 무한히 많음을 보여라.
(a) 길동의 전화번호는 서로 다른 8개의 숫자로 구성되어 있다. 길동이는 전화번호에 나오는 각 숫자의 쌍마다 “내 전화번호에서 숫자 $a$는 숫자 $b$보다 앞에 나옵니다”처럼 된 총 28장의 카드를 만들었다.
길동이가 다른 사람에게 자기 전화번호를 알려주지 않으면서 보여줄 수 있는 카드는 최대 몇 개인가?
(b) 평면 위에 합동인 정삼각형을 무한히 많이 채운 모양의 게임판 위에서 민준과 서연이 오목과 비슷한 아래와 같은 게임을 한다. 돌아가면서 민준이 정삼각형을 하나 골라 그 안에 X 표시를 하면, 그 다음 차례에 서연 역시 정삼각형을 하나 골라 그 안에 O 표시를 하는 작업을 반복하는데, 만일 어느 누구라도 같은 방향으로 4개 연속한 삼각형을 모두 고르게 되면 게임을 이긴다.
이때, 이 게임을 반드시 이길 수 있는 전략이 있는 사람이 있는지, 아니면 둘다 동시에 상대편이 영원히 승리할 수 없도록 하는 전략이 있는지 결정하라.
두 실수 $a>0$, $0<\alpha<\pi$가 주어져 있다. 변 $BC$이 길이가 $a$이고 $\angle BAC=\alpha$인 삼각형 $ABC$의 외심을 $O$, 수심을 $H$라 하자. 반직선 $AO$ 위의 점 $P$를 직선 $AC$에 대칭시켜 얻은 점을 $S$라 하고, $P$를 직선 $AB$에 대칭시켜 얻은 점을 $T$라 하자. 만일 사각형 $SATH$가 원에 내접하면, 선분 $AP$의 길이는 오직 $a$와 $\alpha$로 결정됨을 증명하라.