2013 루마니아 TST

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정수 $n\ge 2$에 대해 $a_n$, $b_n$, $c_n$을 \[ (\sqrt[3]{2}-1)^n=a_n+b_n \sqrt[3]{2}+c_n \sqrt[3]{4}\]이 되는 정수라 하자. 이때 $c_n-1$이 $3$의 배수일 필요충분조건이 $n-2$가 $3$의 배수인 것임을 보여라.
(출처, 풀이)

두 원 $\Omega$와 $\omega$가 점 $P$에서 외접한다. 점 $\Omega$의 현 $AB$가 원 $\omega$와 점 $C$에서 접한다. 직선 $CP$가 원 $\Omega$와 점 $Q$에서 다시 만난다. 원 $\Omega$의 현 $QR$과 현 $QS$가 원 $\omega$와 접한다.삼각형 $ABP$, $ABR$, $ABS$의 내심을 각각 $I$, $X$, $Y$라 하자. 이때 $\angle IXP+\angle IYP=90^\circ$임을 보여라.
(출처, 풀이)

양의 정수의 집합 위에서 정의된 일대일함수 중에 다음 조건을 만족하는 함수를 모두 구하여라.
양의 정수의 유한 집합 $S$가 $\sum_{s\in S}\frac1s$가 정수라면 $\sum_{s\in S} \frac1{f(s)}$ 역시 정수이다.
(출처, 풀이)

$1$보다 큰 정수 $n$이 있다. 어떤 $(4n-1)$각형의 모든 대각선의 집합 $S$를 $k\ge 2$개의 집합 $S_1$, $S_2$, $\ldots$, $S_k$로 잘 분할하여 임의의 서로 다른 $i$, $j$에 대해 $S_i$에 속한 어떤 대각선은 $S_j$에 속한 어떤 대각선과 교차하게 하였다. 이것이 가능한 $k$ 값의 최대값을 $n$에 관한 함수로 구하여라.
(출처, 풀이)

임의의 양의 정수 $n$에 대해 $\lfloor na\rfloor$가 $\lfloor nb\rfloor$의 약수가 되게 하는 서로 다른 양의 실수 $a$, $b$가 있다고 하자. 이때 $a$, $b$ 둘 다 정수임을 증명하라. 단, $\lfloor x\rfloor $는 $x$보다 크지 않은 가장 큰 정수이다.
(출처)

두 예각삼각형이 같은 원에 내접한다. 그 중 한 삼각형의 구점원이 다른 삼각형의 두 변의 중점을 지난다고 한다. 이때 두 삼각형의 구점원이 같음을 증명하라.
(출처)

어떤 양의 정수 $n, a_1,a_2,\ldots,a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n$을 이용하여 \[\frac{(a_1^2+a_1-1)(a_2^2+a_2-1)\cdots (a_n^2+a_n-1)}{b_1^2+b_1-1)(b_2^2+b_2-1)\cdots (b_n^2+b_n-1)}\] 꼴로 나타낼 수 있는 모든 유리수의 집합을 $S$라 하자. 이때 집합 $S$ 안에 소수가 무한이 많음을 보여라.
(출처)

정수 $k>1$에 대해 다음 두 조건을 동시에 만족하는 양의 정수 집합의 부분집합들의 무한 집합 $\mathcal A$을 만들어라.
(a) 집합 $\mathcal A$의 원소인 임의의 $k$개의 서로 집합은 정확히 $1$개의 공통원소가 있다.
(b) 집합 $\mathcal A$의 원소인 임의의 $k+1$개의 서로 다른 집합의 교집합은 공집합이다.
(출처)

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