2014년 1월 30일 목요일. 3시간 30분.
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2014 영국수학올림피아드 2라운드,
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정2014각형의 모든 대각선 각각을 $n$개 색 중 하나로 칠하였다. 같은 색의 대각선이 서로 만나는 경우가 없게 할 수 있는 최소의 $n$값을 구하여라.
정육면체의 부피, 표면적, 둘레의 길이를 각각 수로 표현했을 때 이 세 수가 완전히 똑같을 수는 없다는 것을 증명하라. 단, 정육면체의 둘레의 길이란 모든 12개의 변의 길이의 합이다.
수열 $a_n$을 $a_0=4$, $a_n=a_{n-1}^2-a_{n-1}$로 정의하자.
a) 이 수열의 어떤 항의 약수가 되는 소수의 수가 무한히 많음을 증명하라.
b) 이 수열의 모든 항의 약수가 되지 않는 소수의 수는 무한히 많은가?
삼각형 $ABC$ 내부에 점 $P$가 있다. 직선 $AP$가 삼각형 $ABC$의 외접원과 만나는 $A$ 아닌 점을 $A’$라 하고 비슷한 방식으로 $B’$, $C’$를 정의하자. 삼각형 $BCP$, $CAP$, $ABP$의 외심을 각각 $O_A$, $O_B$, $O_C$라 하자. 삼각형 $B’C’P$, $C’A’P$, $A’B’P$의 외심을 각각 $O_A’$, $O_B’$, $O_C’$이라 하자. 이때 세 직선 $O_AO_A’$, $O_BO_B’$, $O_CO_C’$은 한 점에서 만난다는 것을 증명하라.