2015년 1월 29일. 3시간 30분.
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어느 수열 첫 항 $x_1$ 값은 $2014$이다. 그 다음 항들은 그 앞의 항의 값으로 결정되는데 \[x_{n+1}=\frac{(\sqrt{2}+1)x_n-1}{(\sqrt 2+1)+x_n}\]을 만족한다. 이때 2015번째 항인 $x_{2015}$를 구하여라.
어느 학교에는 홀수 개의 반이 있다. 각 반에는 홀수 명의 학생이 있다. 각 반에서 한 명의 학생을 뽑아 학교 의회를 만들려고 한다. 이때 다음 두 명제가 동치임을 보여라.
(a) 위원회에 남학생의 수가 홀수가 되는 경우의 수가 여학생 수가 홀수가 되는 경우의 수보다 많다.
(b) 남학생 수가 여학생 수보다 많은 반의 수는 홀수이다.
두 원이 점 $A$에서 내접한다. 바깥에 있는 원의 현 $PQ$가 안쪽에 있는 원과 접하도록 하면서 움직일 때, 삼각형 $AQP$의 내심의 자취가 그리는 도형은 주어진 두 원과 점 $A$에서 접하는 원이 됨을 보여라.
$x$, $y$ 좌표가 모두 정수인 좌표평면 위의 점을 격자점이라 하자. 두 격자점 $P$, $Q$에 대해, 만일 선분 $PQ$에 다른 격자점이 없다면 $P$에서 $Q$가 보인다고 하자. 총 $n$개의 점 $P_1$, $P_2$, $\ldots$, $P_n$이 아래 세 조건을 만족하면 $n$-루프라 하자.
(a) 모든 $i=1,2,\ldots,n-1$에서 $P_i$에서 $P_{i+1}$이 보이고, $P_n$에서 $P_1$이 보인다.
(b) (a)에서 언급된 경우 말고는 $P_i$에서 $P_j$가 보이지 않는다.
(c) 어느 세 점도 한 직선 위에 없다.
이때 100-루프는 존재하는가?