2018년 1월 25일. 총 3시간 30분동안 4문제.
출처: https://bmos.ukmt.org.uk/home/bmo2-2018.pdf
loading...
삼각형 $ABC$의 변 $AC$의 중점을 $M$이라 하자. 직선 $BC$와 점 $B$에서 접하고 점 $M$을 지나는 원이 직선 $AB$와 점 $P$($\neq P$)에서 만난다. 이때 $AB\cdot BP=2BM^2$임을 보여라.
원형의 탁자에 $n$명이 앉을 자리가 있다. 각각의 자리에는 접시가 있으며 접시 위에 작은 케이크가 있다. 먼저 앨리스가 도착하여 자리를 잡고 그 자리에 있는 맛 없는 케이크를 먹는다. 다음에는 모자장수가 도착하여 앨리스에게 혼자 외롭게 티 파티를 할 것이며 자리를 계속 바꿔야 하고 바꿀때마다 그 자리에 케이크가 남아있다면 그 끔직한 케이크를 먹어야 한다고 말하였다. 게디가, 모자장수는 $i=1,2,\ldots,n-1$에 대하여 앨리스가 $i$번째 움직일 때는 정확히 $a_i$칸만큼 옆으로 이동하여야만 하며 모자장수는 앨리스에게 $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{n-1}$ 값을 정해주었다. 앨리스는 케이크를 싫어하며, 각 차례에 시계 방향인지 반시계 방향인지 정할 수만 있다. 양의 정수 $n$이 어떤 값일 때 모자 장수는 앨리스가 모든 케이크를 먹을 수 밖에 없도록 할 수 있는가?
임의의 양의 정수 $n$에 대하여 \[ 1^3+2^3+\cdots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\]라서 완전제곱수임은 잘 알려져 있다. 그러면, 다음 식 \[(m+1)^3+(m+2)^3+\cdots+(2m)^3\]이 완전제곱수가 되는 양의 정수 $m$이 존재하는가?
실수를 받아서 실수값을 주는 함수 $f$가 있다. 만일 모든 $x\le y$에 대하여 $f(x)\le f(y)$이고, 모든 실수 $z$에 대하여 $f^{2018}(z)$가 정수이면 그 함수 $f$를 흡수한다고 하자.
a) $f(x)$가 정수인 $x$가 유한개밖에 없는 흡수하는 함수가 존재하는가?
b) 어떤 $i$에 대하여 $x=a_i$일 때만 $f(x)$가 정수가 되는 적당한 실수의 증가 수열 $a_1\lt a_2\lt a_3\lt \cdots$가 있을 흡수하는 함수가 존재하는가?
여기서 양의 정수 $k$와 함수 $f$에 대하여 $f^k$는 함수 $f$를 $k$번 합성한 함수를 뜻한다. 예를 들어, $f^3(t)=f(f(f(t)))$이다.