2012년 미국팀 TST 문제입니다.
문제출처

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예각삼각형 $ABC$가 $\angle{A} \lt \angle{B}$와 $\angle{A} \lt \angle{C}$를 만족한다고 하자. 변 $BC$ 위에 동점 $P$가 있고, 변 $AB$와 $AC$ 위에 각각 점 $D$와 $E$를 잡아 $BP=PD$와 $CP=PE$를 만족시키게 하자. $P$가 변 $BC$를 따라 움직일 때, 삼각형 $ADE$의 외접원은 $A$가 아닌 한 고정점을 지남을 보여라.
(2011년 12월 15일, 출처)

임의의 실수 $x,y$에 대해 다음 식을 만족시키는 함수 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$을 모두 구하여라. \[f(x+y^2)=f(x)+|yf(y)|\]
(2011년 12월 15일, 출처)

다음 식을 만족시키는 정수 $a,b,c \gt 2010$이 존재하는지 아닌지를 결정하고 증명하여라. \[a^3+2b^3+4c^3=6abc+1\]
(2011년 12월 15일, 출처)

한 고등학교에 2010명의 학생과 100개의 교실이 있다고 한다. 모든 학생들이 이 교실들 중 하나를 선택해 들어가 있었다고 하자. 매 분마다, 모든 학생들이 한 교실에 있지 않는 한, 누군가가 한 교실에서 그 교실보다 학생 수가 작지 않은 다른 교실로 이동한다. 이러한 시행들이 $M$분 후에 완료된다고 할 때, $M$의 최댓값을 구하여라.
(2011년 12월 15일, 출처)

3변수 다항식 \[P_n(x,y,z)=(x-y)^{2n}(y-z)^{2n}+(y-z)^{2n}(z-x)^{2n}+(z-x)^{2n}(x-y)^{2n}\]과 \[Q_n(x,y,z)=[(x-y)^{2n}+(y-z)^{2n}+(z-x)^{2n}]^{2n}\]이 주어져 있다. 이 때 $Q_n(x,y,z)/P_n(x,y,z)$가 $x,y,z$에 대한 유리수 계수를 갖는 3변수 다항식이 되게끔 하는 양의 정수 $n$을 모두 구하여라.
(2012년 2월 1일, 출처)

원애 내접하는 사각형 $ABCD$의 대각선 $AC$와 $BD$가 $P$에서 만난다고 한다. $P$에서 직선 $AB,CD$에 내린 수선의 발을 각각 $E,F$라 하자. 선분 $BF$와 $CE$가 $Q$에서 만난다고 하자. 직선 $PQ$와 $EF$가 직교함을 보여라.
(2012년 2월 1일, 출처)

다음 명제를 성립하게 하는 양의 정수 $n \geq 2$를 모두 구하여라: $a_1+a_2+\cdots+a_n=2n-1$을 만족하는 임의의 양의 정수열 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$에 대해, 최소한 두 개 이상의 연속한 항이 존재하여 그들의 산술평균이 정수이다.
(2012년 2월 1일, 출처)

다음 조건을 만족시키는 양의 정수 $a,n \geq 1$을 모두 구하여라: $a^n-1$을 나누는 임의의 소수 $p$에 대해, $p|a^m-1$을 만족시키는 양의 정수 $m \lt n$이 존재한다.
(2012년 2월 1일, 출처)