2014년 IMO에 나갈 미국 대표 후보군 18명을 뽑기 위한 시험으로 2013년 여름캠프 중 3일에 걸쳐 각각 4시간 30분씩 시험을 쳤다.
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삼각형 $ABC$의 외접원의 각 호 $BC$, $CA$, $AB$의 중점을 $D$, $E$, $F$라 하자. 점 $A$에서 직선 $DB$, $DC$로 내린 수선의 발들을 지나는 직선을 $\ell_a$라 하자. 점 $D$에서 직선 $AB$와 $AC$로 내린 수선의 발들을 지나는 직선을 $m_a$라 하자. 직선 $\ell_a$와 $m_a$의 교점을 $A_1$이라 하자. 마찬가지로 $B_1$과 $C_1$을 정의하자. 이때 삼각형 $DEF$와 $A_1B_1C_1$가 닮음을 보여라.
(2013년 6월 21일, 4시간 반동안 3문제, 출처)
어떤 수 $x$가 있어서 모든 $1\le k\le n$에 대해 $a_k=\lfloor kx\rfloor$일 때, 정수의 유한수열 $a_1,a_2,\ldots,a_n$을 규칙적이라고 부르자. 규칙적인 수열 $a_1,a_2,\ldots,a_n$과 $1\le k\le n$에 대해 $b\neq a_k$이면서 \[a_1,a_2,\ldots,a_{k-1},b\]이 규칙적인 수열이 될 수 없는 경우 이러한 수열의 항 $a_k$를 끼였다고 부르자. $1000$개의 항을 가진 규칙적인 수열에서 얻을 수 있는 끼인 항의 수의 최대값을 구하여라. (단, $\lfloor x\rfloor $란 $x$보다 크지 않는 정수 중 최대인 것을 뜻한다. )
(2013년 6월 21일, 4시간 반동안 3문제, 출처)
$x=m$, $y=n$ ($m$, $n$은 정수)인 직선들을 그려 평면을 무한한 크기의 바둑판 형태로 자르자. 어떤 칸의 오른쪽 위 모서리의 $x$, $y$ 좌표 모두 짝수라면 그 칸을 검정으로 칠하고 그렇지 않다면 흰색으로 칠하여 전체 칸의 총 $1/4$이 검정색이 되게 하자. 두 홀수 $r$, $s$를 생각하자. 어떤 흰 칸 내부에서 $rx-sy$가 무리수가 되는 점 $(x,y)$를 생각하자. 이 점 $(x,y)$에서 빛을 기울기 $r/s$로 발사하는데, 흰 칸은 통과하고 검은 칸을 만나면 반사한다고 하자. 이때 이 빛이 지나가는 경로는 닫힌 폐곡선을 이루게 된다는 것을 증명하라.
(2013년 6월 21일, 4시간 반동안 3문제, 출처)
중심이 $X$인 원 $\omega$가 중심이 $Y$인 원 $\Omega$에 점 $T$에서 내접한다. 점 $P$와 $S$가 각각 원 $\Omega$와 원 $\omega$ 위에서 직선 $PS$가 원 $\omega$와 점 $S$에서 접하도록 하면서 움직인다고 하자. 이때 삼각형 $PST$의 외심 $O$가 지나간 자취가 이루는 도형을 구하라.
(2013년 6월 23일, 4시간 반동안 3문제, 출처)
소수 $p$가 있다. 꼭지점이 $1000p$개인 완전그래프의 각 선에 정수값이 적혀있다면, 선에 적힌 수의 합이 $p$의 배수가 되는 (같은 꼭지점을 두 번 지나지 않는) 회로가 존재함을 증명하라.
(2013년 6월 23일, 4시간 반동안 3문제, 출처)
양의 정수의 집합을 $\mathbb N$이라 하자. 모든 정수 $a,b,c\ge2$에 대해 \[ f^{abc-a}(abc)+f^{abc-b}(abc)+f^{abc-c}(abc)=a+b+c\]가 되는 함수 $f:\mathbb N\to\mathbb N$을 모두 구하여라.
(2013년 6월 23일, 4시간 반동안 3문제, 출처)
어떤 나라에 $n$개의 도시 $1,2,\ldots,n$가 있다고 하자. 두 도시를 잇는 고속도로를 정확히 $n-1$개를 건설해서 모든 도시가 다른 도시에서 도로를 여러개 이용해서 도달가능하게 만들고자 한다. 그런데 두 도시의 수 차이가 정확히 $1$이면 그 사이 도로를 건설하는 것은 금지되어 있으며, 도시 $1$과 도시 $n$ 사이에도 도로 건설이 금지되어 있다고 한다. 이렇게 도로를 건설하는 방법의 수를 $T_n$이라 하자.
(a) $n$이 홀수이면 $T_n$이 $n$의 배수가 됨을 증명하라.
(b) $n$이 짝수이면 $T_n$은 $n/2$의 배수가 됨을 증명하라.
(2013년 6월 25일, 4시간 반동안 3문제, 출처)
함수 $f:\mathbb N\to\mathbb N$이 $f(1)=1$이고 모든 양의 정수 $n$에 대해 $f(n+1)=f(n)+2^{f(n)}$을 만족한다. 이때 $f(1),f(2),\ldots,f(3^{2013})$을 $3^{2013}$으로 나눈 나머지는 서로 다르다는 것을 증명하라.
(2013년 6월 25일, 4시간 반동안 3문제, 출처)
폐구간 $[-1,1]$에 속한 유리수 $r$에 대해 $\theta=\cos^{-1} r$이라 하자. 평면 위의 점의 집합 $S$에 속한 임의의 점을 중심으로 각 $\theta$만큼 시계방향이나 반시계방향으로 회전하여도 $S$가 변함이 없을때 이러한 집합 $S$를 좋다고 하자. 이때 다음 성질이 만족되게 하는 모든 $r$ 값을 구하여라: 좋은 집합의 임의의 두 점의 중점 역시 그 집합에 속한다.
(2013년 6월 25일, 4시간 반동안 3문제, 출처)