2015 제76회 William Lowell Putnam 수학경시대회

2015년 12월 5일. 오전 3시간 (A1-A6), 오후 3시간 (B1-B6).

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쌍곡선 $xy=1$의 같은 쪽 위에 있는 두 점 $A$, $B$가 있다. 이 쌍곡선의 $A$, $B$ 사이에 있는 점 $P$가 삼각형 $APB$의 넓이가 최대가 되도록 있다고 하자. 이때 이 쌍곡선과 선분 $AP$로 둘러싸인 영역의 넓이는 이 쌍곡선과 선분 $PB$로 둘러싸인 영역의 넓이와 같음을 보여라.

$a_0=1$, $a_1=2$이고 $n\ge 2$에 대해 $a_n=4a_{n-1}-a_{n-2}$인 수열이 있다고 하자. 이때, $a_{2015}$의 홀수인 소인수를 구하라.

다음 식의 값을 구하여라. 단 $i$는 $i^2=-1$이 되는 수이다. \[ \log_2 \left(\prod_{a=1}^{2015}\prod_{b=1}^{2015} \left(1+e^{2\pi i ab/2015}\right)\right).\]

실수 $x$에 대해 $\lfloor nx\rfloor$가 짝수가 되는 양의 정수의 집합을 $S_x$라 하고, \[f(x)=\sum_{n\in S_x} \frac{1}{2^n}\]인 함수 $f$를 정의하자. 이때 모든 $x\in[0,1)$에 대해 $f(x)\ge L$이 되게 하는 가장 큰 실수 $L$은 무엇인가?

홀수인 양의 정수 $q$에 대해 $N_q$를 $0\lt a\lt q/4$이면서 $\operatorname{gcd}(a,q)=1$인 정수 $a$의 개수라 하자. 이때 $N_q$가 홀수인 필요충분조건이 $8$로 나누어 $5$나 $7$이 남는 어떤 소수 $p$와 어떤 양의 정수 $k$에 대해 $q=p^k$꼴인 것임을 보여라.

양의 정수 $n$이 있다. 세 $n\times n$ 실수 행렬 $A$, $B$, $M$이 $AM=MB$를 만족하며 $A$, $B$의 특성다항식(characteristic polynomial)이 같다고 하자. 이때 $n\times n$인 실수 행렬 $X$에 대해 $\det (A-MX)=\det(B-XM)$임을 보여라.

세 번 미분가능한 실수 위에서 정의된 함수 $f$가 서로 다른 5개의 실수해를 가진다면, $f+6f’+12f^{\prime\prime}+8f^{\prime\prime\prime}$는 서로 다른 실수 해를 적어도 두 개 이상 가짐을 증명하라.

양의 정수들 $1$, $2$, $3$, $4$, $\ldots$의 목록이 주어져 있다. 이 목록에서 첫 세 수인 $1$, $2$, $3$을 지우고 그 합인 $6$도 지우자. 다시 남아있는 수 중에서 가장 작은 첫 세 수인 $4$, $5$, $7$을 지우고 그 합인 $16$도 지우자. 이 작업을 계속 반복면서 얻게 되는 세 수의 합의 수열인 $6$, $16$, $27$, $36$, $\ldots$를 생각해보자. 이때 다음 명제가 참이면 증명하고 아니면 반증하라.
이 수열에 10진법으로 $2015$로 끝나는 수가 존재한다.

실수 행렬 \[M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\] 중 $a$, $b$, $c$, $d$가 이 순서대로 등차수열이 되는 행렬 전체의 집합을 $S$이라 하자. 이때 $S$에 속한 행렬 $M$ 중 어떤 수 $k\gt 1$에 대해 $M^k$도 $S$에 속하는 $M$을 모두 찾으시오.

세 변의 길이가 정확히 $a$, $b$, $c$가 되는 삼각형이 존재하는 양의 정수의 순서쌍 $(a, b,c)$의 집합을 $T$라 하자. 이때 $\sum_{(a,b,c)\in T} \frac{2^a}{3^b5^c}$을 구하여 기약분수로 나타내어라.

집합 $\{1,2,\ldots,n\}$의 순열 $\pi$ 중 모든 $\lvert i-j\rvert=1$에 대해 $\lvert \pi(i)-\pi(j)\rvert\le 2$가 되는 순열의 집합을 $P_n$이라 하자. 모든 $n\ge 2$에 대해 $P_{n+5}-P_{n+4}-P_{n+3}+P_n$값이 $n$에 상관없이 일정함을 보이고 그 값을 구하여라.

양의 정수 $k$에 대해 $[1,\sqrt{2k})$에 들어있는 $k$의 홀수인 약수의 수를 $A(k)$라 하자. 이때 다음 식의 값을 구하시오. \[ \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}\frac{A(k)}{k}.\]

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