1974년 5월 7일.
3시간 30분에 5문제.
(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)
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$a$, $b$, $c$는 서로 다른 정수들이고, $P$는 정수계수의 다항식이다. $P(a)=b$, $P(b)=c$, $P(c)=a$ 일 수 없음을 보여라.
임의의 양의 실수 $a$, $b$, $c$에 대해 다음 부등식을 증명하여라.\[ a^a b^b c^c \ge (abc)^{\frac{a+b+c}3}\]
반지름이 1인 구면 위의 두 점을 이 구의 내부에 포함되고 길이가 2보다 짧은 곡선으로 연결하였다. 이 곡선은 주어진 구의 어느 반구에 완전히 포함됨을 증명하여라.
아버지, 어머니, 아들 세 사람이 비기는 경우가 없는 2인용 보드게임 토너먼트를 한다. 토너먼트의 규칙은 다음과 같다:
(i) 게임에 가장 약한 사람이 맨처음 경기를 할 두 사람을 고른다.
(ii) 한 경기에 이긴 사람이 바로 다음 경기를 나머지 한 사람과 갖는다.
(iii) 가장 먼저 두 경기를 이긴 사람이 토너먼트의 우승자가 된다.
아버지가 가장 약하고, 아들이 게임에 가장 강하며, 각 두 사람 간에 한쪽이 이길 확률은 토너먼트가 벌어지는 동안 변하지 않는 것으로 간주한다. 토너먼트에서 우승하기 위한 아버지의 최선의 전략은 맨처음 경기를 어머니랑 둘이 하는 것임을 증명하여라.
아래 그림과 같은 두 삼각형 $\triangle ABC$와 $\triangle PQR$을 생각해보자. $\angle ADB = \angle BDC = \angle CDA = 120^\circ$ 이다. $x = u + v + w$ 임을 증명하여라.
