3시간 30분에 5문제.
(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)
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(a) 다음 부등식을 증명하여라.\[ [5x] + [5y] \geq [3x+y] + [3y+x]\]
단, $x,y \geq 0$ 이고, $[u]$는 $u$ 이하의 가장 큰 정수를 나타낸다(예: $[\sqrt2\,] = 1$).
(b) 임의의 양의 정수 $m$과 $n$에 대해 \[ \frac{(5m)!(5n)!}{m!\,n!\,(3m+n)!\,(3n+m)!}\]이 정수임을 증명하여라. (a)를 이용해도 좋고 이용하지 않아도 된다.
$A$, $B$, $C$, $D$는 3차원 공간의 네 점이고, $A$와 $B$ 사이의 거리를 $AB$로 나타내는 것으로 하자. 다음을 보여라.\[ AC^2 + BD^2 + AD^2 + BC^2 \geq AB^2 + CD^2\]
$P(x)$는 $k=0,1,2,\dotsc,n$ 에 대해 $P(k) = k/(k+1)$ 을 만족하는 $n$차 다항식이다. $P(n+1)$을 구하여라.
두 점 $P$와 $Q$에서 만나는 두 원이 있다. $P$를 지나고 양끝점이 두 원 위에 있는 선분 $AB$ 중에 $AP \cdot PB$ 를 최대로 하는 것을 어떻게 작도할 수 있을까?
3장의 에이스를 포함하는 $n$장의 카드를 임의로 섞어 한 곳에 쌓는다(모든 가능한 카드의 순서가 균일한 확률로 나타난다고 가정). 두 번째 에이스가 나타날 때까지 위에서부터 한 장씩 차례로 뒤짚는다. 뒤집은 카드의 개수의 기대값이 $(n+1)/2$ 임을 증명하여라.