3시간 30분에 5문제.

(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)

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(a) $4 \times 7$ 체스판의 각각의 칸을 검은색이나 흰색으로 칠하자.
어떻게 칠해도 네 귀의 칸이 모두 같은 색인 직사각형(이 체스판의 가로선과 세로선으로 이루어진)이 항상 생기게 됨을 증명하여라.
(b) $4 \times 6$ 체스판에서는 그런 직사각형이 하나도 없도록 칠할 수 있음을 보여라.

$A$와 $B$는 주어진 원 위의 고정점들이고, $XY$는 이 원에서 움직이는 지름이다. 두 직선 $AX$와 $BY$의 교점의 자취를 구하여라. $AB$는 지름이 아니라고 가정해도 좋다.

다음 방정식의 모든 정수해를 구하여라.\[ a^2 + b^2 + c^2 = a^2b^2\]

직각사면체 $PABC$에서(즉, $\angle APB = \angle BPC = \angle CPA = 90^\circ$) 여섯 변의 길이의 합을 $S$라 할 때, 이 사면체의 최대 부피를 구하여라.

$P(x)$, $Q(x)$, $R(x)$, $S(x)$는 \[ P(x^5) + x Q(x^5) + x^2 R(x^5) = (x^4+x^3+x^2+x+1) S(x)\]를 만족하는 다항식들이다. $x-1$이 $P(x)$의 인수임을 증명하여라.