1978 미국수학올림피아드

3시간 30분에 5문제.

(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)

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$a$, $b$, $c$, $d$, $e$는 다음을 만족하는 실수들이다. \begin{align*} a + b + c + d + e &= 8 \\ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 &= 16 \end{align*} $e$의 최대값을 구하여라.

같은 지역을 서로 다른 축도로 그린 두 정사각형의 지도 $ABCD$와 $A’B’C’D’$이 아래 그림과 같이 겹쳐져 있다. 작은 지도의 점 $O$와 큰 지도의 점 $O’$이 서로 포개어지면서 정확히 같은 지점을 나타내는 경우는 정확히 하나 뿐임을 증명하여라. 또한 이 점 $O$를 유클리드 작도(자와 컴퍼스)로 구하여라.usamo1978

합이 $n$인 적당한 양의 정수들의 역수를 합하여 1이 되는 경우가 있을 때 $n$을 `좋은 수’라고 하자. (예: $\frac12 + \frac12 = 1$ 이므로 $2 + 2 = 4$ 는 좋은 수.) 33부터 73까지의 모든 정수가 좋은 수임을 알고 있는 것으로 할 때, 33 이상의 모든 정수가 좋은 수임을 보여라.

(a) 여섯 개의 이면각(면과 면이 만나 이루는 각)의 크기가 모두 같은 사면체는 정사면체임을 증명하여라.
(b) 다섯 개의 이면각의 크기가 모두 같은 사면체는 반드시 정사면체일까?

아홉 명의 수학자가 어느 국제 회의에서 만났는데, 그들 중 어느 세 명을 택해도 그 중 같은 언어로 말할 수 있는 두 명이 항상 있음을 발견하였다. 각 수학자는 최대 세 가지 언어로 말할 수 있다고 할 때, 같은 언어로 말할 수 있는 세 명의 수학자가 있음을 증명하여라.

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