3시간 30분에 5문제.
(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)
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다음 부정방정식의 음이 아닌 정수해 $(n_1,n_2,\dotsc,n_{14})$를 모두 구하여라. 해가 존재한다면, $n_i$들의 순서를 바꾼 것은 무시하여 하나만 써도 좋다.\[ n_1^4 + n_2^4 + \cdots + n_{14}^4 = 1599\]
$S$는 $P$를 극점으로 갖는 구면이다. $P$를 지나는 임의의 대원에서 $P$로부터 같은 거리에 있는 두 점 $A$와 $B$를 택하자. $C$가 $S$ 위에 있는 구면삼각형(세 변이 대원호인 삼각형) $ABC$에서, 대원호 $CP$는 각 $C$의 이등분선임을 증명하여라.
(구면 위의 대원이란 중심이 구의 중심과 같은 구면 위의 원을 말한다. 대원 $S$의 극점이 $P$라는 것은 평면 $S$에 수직인 구의 지름의 한 끝점이 $P$라는 것을 말한다.)
각 면에 임의의 정수가 부여된 $n$개의 면을 가지고 있는 동일한 주사위 3개가 있다. 이들을 던졌을 때 세 주사위 바닥에 나오는 세 수의 합이 3으로 나누어 떨어질 확률은 $1/4$ 이상임을 보여라.
각 $A$의 내부의 점 $P$를 지나는 직선이 두 반직선과 만나는 점을 각각 $B$, $C$라 하자. $\D\frac{1}{BP} + \frac{1}{PC}$ 이 최대가 되도록 작도하려면 어떻게 하면 될까?
어떤 조직에는 $n$명의 회원이 있고, 세 명씩으로 이루어진 $n+1$개의 위원회가 있다. 어떤 두 위원회도 회원 구성이 일치하지 않는다. 정확히 한 명의 회원을 공유하는 두 위원회가 있음을 증명하여라.