1980 미국수학올림피아드

3시간 30분에 5문제.

(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)

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양팔의 길이와 접시의 무게가 달라서 부정확한 양팔저울로, 무게가 다른 3개의 물체 $A$, $B$, $C$를 따로따로 잰다. $A$, $B$, $C$를 왼쪽 접시에 놓고 잰 무게는 각각 $A_1$, $B_1$, $C_1$이었고, $A$, $B$를 오른쪽 접시에 놓고 잰 무게는 각각 $A_2$, $B_2$였다고 한다. $C$의 진짜 무게를 $A_1$, $B_1$, $C_1$, $A_2$, $B_2$로 나타내어라.

$a_1 < a_2 < \cdots < a_n$ 인 $n$개의 실수의 열에서 택할 수 있는, 항수가 3개인 등차수열의 개수의 최대값을 구하여라.

$x$, $y$, $z$, $A$, $B$, $C$는 실수이고, $A+B+C$는 $\pi$의 정수배일 때 \[ F_r = x^r \sin rA + y^r \sin rB + z^r \sin rC\]라 하자. $F_1 = F_2 = 0$ 이면 모든 양의 정수 $r$에 대해 $F_r = 0$ 임을 증명하여라.

주어진 사면체의 내접구면이 이 사면체의 각 면과 그 면의 무게중심에서 각각 접하고 있다. 이 사면체는 정사면체임을 증명하여라.

구간 $[0,1]$ 위의 점 $a$, $b$, $c$에 대해서 부등식 \[ \frac a{b+c+1} + \frac b{c+a+1} + \frac c{a+b+1} + (1-a)(1-b)(1-c) \le 1\]이 성립함을 보여라.

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