3시간 30분에 5문제.

(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)

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$180^\circ/n$의 크기를 갖는 각이 주어져있다. $n$이 3으로 나누어 떨어지지 않으면, 이 각을 유클리드 작도(자와 컴퍼스)로 3등분할 수 있음을 증명하여라.

어느 나라의 임의의 두 도시는 버스, 열차, 비행기 중 꼭 하나의 탈 것으로 연결되어 있다. 세 가지 탈 것은 이 나라에서 모두 쓰여지고 있고, 세 가지 탈 것이 한 도시에서 모두 운행되는 경우는 없으며, 또 어떤 세 도시를 택해도 그들이 모두 같은 탈 것으로 연결되지는 않는다고 한다. 도시는 최대 몇 곳이나 있는가?

$A$, $B$, $C$가 삼각형의 세 각일 때 다음 부등식을 증명하고 등호가 성립할 조건을 구하여라.\[ -2 \leq \sin 3A + \sin 3B + \sin 3C \leq \frac{3\sqrt3}2\]

주어진 볼록다각뿔의 모든 면각의 크기의 합이 모든 이면각의 크기의 합과 같다고 한다. 이 다각뿔은 삼각뿔임을 증명하여라.

$x$를 양의 실수, $n$을 양의 정수라 할 때, \[ [nx] > \frac{[x]}1 + \frac{[2x]}2 + \frac{[3x]}3 + \cdots + \frac{[nx]}n\]임을 보여라. 단, $[t]$는 $t$를 넘지 않는 가장 큰 큰 정수를 나타낸다. 예를 들어, $[\pi] = 3$, $[\sqrt2\,]=1$ 이다.