3시간 30분에 5문제.

(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)

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1982명이 참석한 파티에서, 네 명의 그룹을 어떻게 택해도 그 중 한 명이 나머지 3명을 모두 안다고 한다. 이 파티에 참석한 다른 모든 사람을 아는 사람은 최소 몇 명인가?

실수 $x$, $y$, $z$에 대해 $S_r = x^r + y^r + z^r$ 이라 하자. $S_1 = 0$ 이면 $(m,n) = (2,3)$, $(3,2)$, $(2,5)$, $(5,2)$에 대해 \[\frac{S_{m+n}}{m+n} = \frac{S_m}m \frac{S_n}n \tag{*}\]임이 알려져 있다. $x+y+z=0$ 인 모든 실수 $x$, $y$, $z$에 대해 (*)이 성립하는 다른 정수쌍 $(m,n)$이 더 있다면 모두 구하여라.

$A_1$은 정삼각형 $ABC$ 내부의 점이고, $A_2$는 $\triangle A_1BC$ 내부의 점이다.
$$
\rm{I.Q.}(A_1BC) > \rm{I.Q.}(A_2BC)
$$
임을 증명하여라.
단, 도형 $F$의 둘레비 I.Q.는 다음과 같이 정의한다.
$$
\rm{I.Q.}(F) = \frac{\text{($F$의 넓이)}}{\text{($F$의 둘레의 길이)}^2}
$$

모든 양의 정수 $n$에 대해서 $k \cdot 2^n + 1$ 이 항상 합성수가 되는 양의 정수 $k$가 존재함을 보여라.

$A$, $B$, $C$는 구면 $S$ 내부의 세 점이고, $AB$와 $AC$는 $A$를 지나는 $S$의 지름에 수직이다. $A$, $B$, $C$를 지나고 $S$에 접하는 두 구면을 생각하자. 이 두 구면의 반지름의 합은 $S$의 반지름과 같음을 증명하여라.