3시간 30분에 5문제.

(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)

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주어진 원 위에서 호의 길이에 대해 균등한 확률로 6개의 점 $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$를 각각 독립적으로 고른다. 두 삼각형 $ABC$와 $DEF$가 서로 소일, 즉 만나지 않을 확률을 구하여라.

$2a^2 < 5b$ 이면 다음 방정식의 근이 모두 실근일 수 없음을 증명하여라. \[ x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0\]

한 직선의 유한 개의 부분집합을 모은 집합족이 있다. 이 부분집합들은 모두 적당한 두 폐구간의 합집합이다. 또한, 이 집합족에 속하는 임의의 세 부분집합은 항상 공통점(공통원소)을 갖는다. 그럼 이 부분집합들 중 절반 이상의 집합에 속하는 점이 있음을 증명하여라.

한 평면 위의 6개의 선분 $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$, $S_5$, $S_6$가 주어져있다. 이들은 사면체 $ABCD$의 변 $AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$, $CD$와 각각 길이가 같다. 꼭지점 $A$에 내린 이 사면체의 수선과 같은 길이의 선분을 자와 컴퍼스로 어떻게 작도할 수 있을까?

양의 정수 $n$에 대해, 실수직선 위에 길이 $1/n$ 인 임의의 열린 구간을 생각하자. 분모가 $n$ 이하인 기약분수들 중에 이 주어진 구간에 포함되는 것의 개수는 많아야 $(n+1)/2$ 임을 증명하여라.