3시간 30분에 5문제.
(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)
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다음 연립방정식 \begin{align*} x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_{1985}^2 &= y^3, \\ x_1^3 + x_2^3 + \cdots + x_{1985}^3 &= z^2 \end{align*}이 양의 정수해를 갖는지 판정하여라. 단, $x_1, x_2, \ldots, x_{1985}$ 가 모두 서로 다른 해만을 생각한다.
다음 방정식의 모든 실근을 소수 네째 자리까지 구하여라.\[ x^4 – (2 \cdot 10^{10} + 1) x^2 – x + 10^{20} + 10^{10} – 1 = 0\]
공간 상의 네 점 $A$, $B$, $C$, $D$에 대해, 거리 $AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$, $CD$ 중 기껏해야 하나가 1보다 크다고 한다. 이 여섯 거리의 합의 최대값을 구하여라.
어느 파티에 $n$명이 참석하였다. 이 중 어느 두 명이 있어서, 나머지 $n-2$명 중에 이 둘을 모두 알거나 혹은 모두 모르는 사람이 최소 $[n/2]-1$명 있음을 증명하여라. 단, `안다’는 것은 상호적인 관계이고, $[x]$는 $x$보다 작거나 같은 가장 큰 정수이다.
$a_1, a_2, a_3, \ldots$ 는 감소하지 않는 양의 정수들의 수열이다. $m \ge 1$ 에 대해, $b_m = \min\{\, n : a_n \ge m \,\}$ 으로 정의하자. 즉, $b_m$은 $a_n \ge m$ 인 $n$들 중에 가장 작은 값이다. $a_{19} = 85$ 라 할 때, \[ a_1 + a_2 + \cdots + a_{19} + b_1 + b_2 + \cdots + b_{85}\]의 최대값을 구하여라.