3시간 30분에 5문제.
(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)
loading...
(a) 14개의 연속한 양의 정수로, 각각이 $2 \le p \le 11$ 인 소수 중 하나로 나누어 떨어지는 것은 존재하는가?
(b) 21개의 연속한 양의 정수로, 각각이 $2 \le p \le 13$ 인 소수 중 하나로 나누어 떨어지는 것은 존재하는가?
어느 강연에 참석한 다섯 명의 수학자가 각각 정확히 두 번씩 잠이 들었다고 한다. 이들 중 어느 두 명을 택해도 그 두 명이 동시에 잠이 든 순간이 있었다고 한다. 세 명이 동시에 잠이 든 순간이 있었음을 증명하여라.
$\left( \frac1n \sum_{k=1}^n k^2 \right)^{\frac12}$ 이 정수가 되는 1보다 큰 최소의 정수 $n$을 구하여라.
$K_1$, $K_2$는 평면 위의 서로 다른 두 원이다. 두 원은 점 $A$와 $B$에서 만나고 $AB$는 $K_1$의 지름이다. $K_2$ 위에 있고 $K_1$ 내부에 있는 점 $P$가 주어져 있다. “$T$-자” (즉, 두 점을 지나는 직선과 그 직선 위 혹은 밖에 있는 한 점을 지나는 수선을 그릴 수 있는 도구) 만을 사용하여, $CD$가 $AB$에 수직이고 각 $CPD$가 직각이 되는 $K_1$ 위의 두 점 $C$, $D$를 작도하여라.
정수 $n$의 분할 $\pi$란, $n$을 한 개 이상의 양의 정수의 합으로 감소하지 않는 순서로 나열하여 나타내는 것을 말한다. (예를 들어 $n=4$ 라면, 분할 $\pi$는 $1+1+1+1$, $1+1+2$, $1+3$, $2+2$, $4$ 등일 수 있다.) 임의의 분할 $\pi$에 대해, $\pi$에 나타나는 1의 개수를 $A(\pi)$라 하고, $\pi$에 나타나는 서로 다른 정수의 개수를 $B(\pi)$라 정의하자. (예를 들어 $n=13$ 이고 $\pi$가 분할 $1+1+2+2+2+5$ 이면, $A(\pi) = 2$ 이고 $B(\pi) = 3$ 이다.) 임의의 고정된 $n$에 대해, $n$의 모든 분할 $\pi$에 대한 $A(\pi)$의 합은 $B(\pi)$의 합과 같음을 증명하여라.