3시간 30분에 5문제.
(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)
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순순환소수란 소수점 직후의 $k$개의 숫자 마디가 계속 반복되는 소수이다.
예를 들면 다음과 같은 것이다.\[ 0.243243243\cdots = \frac9{37}\] 혼순환소수란 순환 마디가 있긴 하지만 순순환은 아닌 소수이다. 예를 들면 다음과 같은 것이다.
\[ 0.011363636\cdots = \frac1{88}\] 혼순환소수를 기약분수 $\frac pq$꼴로 나타냈을 때, 분모 $q$는 2나 5, 혹은 둘다로 나누어 떨어짐을 증명하여라.
실계수 3차방정식 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ 이 세 실근을 갖는다. $a^2 – 3b \geq 0$ 이고 $\sqrt{a^2 – 3b}$ 은 최대근과 최소근의 차보다 크지 않음을 증명하여라.
집합 $\{1, 2, 3, \dotsc, 20\}$에서 9개의 수를 골라 만든 모든 부분집합 $S$ 각각에 1에서 20까지의 정수 중 하나를 대응시키는 임의의 함수를 $f(S)$라 하자. 10개의 수를 갖는 부분집합 $T \subset \{1, 2, 3, \dotsc, 20\}$ 중에 모든 $k \in T$ 에 대해 $f(T-\{k\}) \neq k$ 인 것이 존재함을 증명하여라.
삼각형 $ABC$의 내심을 $I$라 하고, 삼각형 $IBC$, $ICA$, $IAB$의 외심을 각각 $A’$, $B’$, $C’$이라 하자. 삼각형 $ABC$와 $A’B’C’$의 외접원은 같은 중심을 가짐을 증명하여라.
$b_k$가 모두 양의 정수인 다음의 곱으로 이루어진 다항식은 신기한 성질을 갖는다. \[ (1-z)^{b_1} (1-z^2)^{b_2} (1-z^3)^{b_3} (1-z^4)^{b_4} (1-z^5)^{b_5} \cdots (1-z^{32})^{b_{32}} \]이 곱을 전개한 후 $z^{32}$보다 차수가 큰 항을 모두 버리면 남는 것은 $1-2z$ 밖에 없다. $b_{32}$의 값을 구하고 그것을 증명하여라.
(이 값은 2개의 거듭제곱수의 차로 나타낼 수 있다.)