3시간 30분에 5문제.

(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)

---

다음은 9에서 시작하여 자릿수를 두 배씩 불려나가며 곱한 수이다.\[ 9 \times 99 \times 9999 \times \cdots \times (10^{2^n} – 1)\] 이 계산 결과의 각 자릿수의 합을 ($n$에 대한 식으로) 구하여라.

다음을 증명하여라.\[ \frac1{\cos 0^\circ \cos 1^\circ} + \frac1{\cos 1^\circ \cos 2^\circ} + \cdots + \frac1{\cos 88^\circ \cos 89^\circ} = \frac{\cos 1^\circ}{\sin^2 1^\circ}\]

집합 $S$의 원소의 합을 $\sigma(S)$로 나타내자. $A = \{a_1, a_2, \dots, a_{11}\}$ 은 자연수 $a_1 < a_2 < \cdots < a_{11}$ 을 모은 집합이고, 각각의 자연수 $n \leq 1500$ 에 대해 $\sigma(S) = n$ 을 만족하는 $A$의 부분집합 $S$가 존재한다고 한다. $a_{10}$의 가능한 최소값은 얼마인가?

한 구면의 세 현 $AA’$, $BB’$, $CC’$이 한 점 $P$에서 만나지만 한 평면 위에 있지는 않다. $A$, $B$, $C$, $P$를 지나는 구면과 $A’$, $B’$, $C’$, $P$를 지나는 구면이 서로 접한다고 할 때, $AA’ = BB’ = CC’$ 임을 증명하여라.

$P(z)$는 1992차의 복소 계수의 다항식으로, $P(z)=0$ 의 모든 근이 서로 다르다. $P(z)$ 가 다음 다항식의 인수가 되도록 하는 복소수 $a_1, a_2, \dots, a_{1992}$ 이 존재함을 증명하여라.\[ \left( \cdots \left( (z-a_1)^2 – a_2 \right)^2 \cdots – a_{1991} \right)^2 – a_{1992}\]