3시간 30분에 5문제.
(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)
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$k_1 < k_2 < k_3 < \cdots $ 을 어떤 두 수도 연속하지 않은 자연수들이라 하고, $s_m = k_1 + k_2 + \cdots + k_m$ 이라 하자. 임의의 자연수 $n$에 대해, 구간 $[s_n, s_{n+1})$ 에 항상 완전제곱수가 포함됨을 증명하여라.
99각형의 각 변이 차례로 빨강, 파랑, 빨강, 파랑, …, 빨강, 파랑, 노랑으로 칠해져있다. 한 번에 한 변씩 택해 이 세 가지 색 중에서 다른 색으로 바꿀 수 있는데, 이웃한 변은 언제나 서로 다른 색이어야 한다. 이런 조작을 유한번 반복하여 각 변이 차례로 빨강, 파랑, 빨강, 파랑, …, 빨강, 노랑, 파랑이 되도록 할 수 있는가?
한 원에 내접하는 볼록육각형 $ABCDEF$가 있다. $AB = CD = EF$ 이고 세 대각선 $AD$, $BE$, $CF$는 한 점에서 만난다. $AD$와 $CE$의 교점을 $P$라 할 때, $CP/PE = ( AC/CE )^2$ 임을 증명하여라.
$a_1, a_2, a_3, \dots$ 는 모든 자연수 $n$에 대해 $\sum_{j=1}^n a_j \geq \sqrt{n}$ 을 만족하는 양의 실수들의 수열이다. 모든 자연수 $n$에 대해 다음을 증명하여라.\[ \sum_{j=1}^n a_j^2 > \frac14 \left( 1 + \frac12 + \cdots + \frac1n \right)\]
유한개의 자연수들의 집합 $U$에 대해, $U$의 원소의 개수를 $|U|$, 원소들의 합과 곱을 각각 $\sigma(U)$, $\pi(U)$로 나타내기로 하자. ($U$가 공집합이면 $|U| = 0$, $\sigma(U) = 0$, $\pi(U) = 1$ 로 한다.) $S$를 유한개의 자연수들의 집합이라 할 때, $m \geq \sigma(S)$ 인 모든 정수 $m$에 대해 다음을 증명하여라.\[ \sum_{U \subseteq S} (-1)^{|U|} \binom{m – \sigma(U)}{|S|} = \pi(S)\]