3시간 30분에 5문제.
(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)
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$p$는 홀수인 소수이다. 수열 $(a_n)_{n \geq 0}$ 은 다음과 같이 정의된다: $a_0=0$, $a_1=1$, $\dots,$ $a_{p-2}=p-2$, 그리고 $n \geq p-1$ 일 때의 $a_n$은 그 이전에 나타나는 일부 항들과 함께 길이 $p$인 등차수열을 이루지 않는 최소의 자연수로 정의한다.
모든 $n$에 대하여, $a_n$은 $n$을 $p-1$진법으로 쓴 후 그 결과를 $p$진법으로 읽은 것임을 증명하여라.
고장이 나서 $\sin$, $\cos$, $\tan$, $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$ 버튼만 정상적으로 작동하는 계산기가 있다. 처음에 숫자창은 $0$이었다. 임의의 양의 유리수 $q$에 대해, 이 계산기의 버튼을 유한번 눌러서 $q$가 나타나도록 할 수 있음을 증명하여라. 단, 이 계산기는 오차 없이 무한 소숫점의 실수 계산을 한다고 가정하고, 모든 함수는 라디안으로 계산하는 것으로 한다.
$\triangle ABC$는 이등변삼각형도, 직각삼각형도 아니다. 외심을 $O$라 하고 변 $BC$, $CA$, $AB$의 중점을 각각 $A_1$, $B_1$, $C_1$이라 하자. $\triangle OAA_1$과 $\triangle OA_2A$가 닮은 삼각형이 되도록 반직선 $OA_1$ 위에 $A_2$를 잡는다. 마찬가지로 $B_2$, $C_2$도 각각 반직선 $OB_1$, $OC_1$ 위에 비슷하게 잡는다. 세 직선 $AA_2$, $BB_2$, $CC_2$가 한 점에서 만남을 증명하여라.
$q_0, q_1, q_2, \dots$ 는 다음 두 조건을 만족하는 정수들의 무한수열이다.
(i) $m > n \geq 0$ 에 대해, $m-n$ 은 $q_m-q_n$ 을 나눈다.
(ii) 모든 $n$에 대하여 $|q_n| < P(n)$ 을 만족하는 다항식 $P$가 존재한다.
모든 $n$에 대하여 $q_n = Q(n)$ 인 다항식 $Q$가 존재함을 증명하여라.
어떤 모임에서, 임의의 두 사람은 서로 친하거가, 친하지 않다고 분류될 수 있다고 하자. 친한 두 사람은 서로를 `친구’라고 하고, 친하지 않은 두 사람은 서로를 `적’이라고 한다. 이 모임에 $n$명의 사람이 있고 서로 친구인 경우는 모두 $q$쌍 있다고 하자. 또, 임의의 세 명에는 항상 서로 친하지 않은 둘이 있다고 하자. 이 모임에 다음과 같은 사람이 적어도 한 명 있음을 증명하여라: 이 사람의 적들만 모아 생각했을 때 그 중에 서로 친구인 경우는 $q(1 – 4q/n^2)$쌍 이하이다.