첫날 3문제, 둘째날 3문제로 매일 4시간 반동안 문제를 푼다.
(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)
loading...
$n \sin n^\circ$ ($n = 2,4,6,\dots,180$) 들의 평균이 $\cot 1^\circ$임을 증명하여라.
실수로 이루어진 공집합이 아닌 집합 $S$에 대해, $S$의 모든 원소의 합을 $\sigma(S)$으로 쓰자. $n$개의 자연수의 집합 $A$가 주어졌을 때, $A$의 공집합이 아닌 모든 부분집합 $S$에 대해 서로 다른 값의 $\sigma(S)$들을 모두 모은 집합을 생각하자. 이 집합을 다음의 성질을 만족하는 $n$개의 부분집합으로 분할할 수 있음을 보여라: 각 집합에서 가장 큰 원소는 가장 작은 원소의 2배를 넘지 않는다.
평면 위의 삼각형 $ABC$에 대해, 다음의 성질을 만족하는 직선 $\ell$이 (같은 평면 위에) 존재함을 증명하여라: 삼각형 $ABC$를 직선 $\ell$에 대해 대칭시킨 삼각형을 $A’B’C’$이라 할 때, $ABC$와 $A’B’C’$이 겹치는 부분의 넓이가 삼각형 $ABC$의 넓이의 $2/3$보다 크다.
0과 1만으로 된 $n$항의 수열 $(x_1, x_2, \dots, x_n)$을 길이 $n$의 이진수열이라고 부르자. 길이 $n$의 이진수열 중에서 연속한 세 항이 차례로 0, 1, 0인 경우가 없는 수열의 개수를 $a_n$이라 하고, 길이 $n$의 이진수열 중에서 연속한 네 항이 차례로 0, 0, 1, 1이거나 1, 1, 0, 0인 경우가 없는 수열의 개수를 $b_n$이라 하자. 모든 자연수 $n$에 대해 $b_{n+1} = 2a_n$ 임을 증명하여라.
삼각형 $ABC$가 내부에 다음을 만족하는 점 $P$를 갖는다: $\angle PAB = 10^\circ$, $\angle PBA = 20^\circ$, $\angle PCA = 30^\circ$, $\angle PAC = 40^\circ$. 삼각형 $ABC$는 이등변삼각형임을 보여라.
다음의 성질을 만족하는 정수로 이루어진 집합 $X$가 존재하는지를 결정하여라:
임의의 정수 $n$에 대해, $a+2b=n$ 을 만족하는 $a, b \in X$ 가 정확히 한 쌍씩 존재한다.