첫날 3문제, 둘째날 3문제로 매일 4시간 반동안 문제를 푼다.
(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)
loading...
$p_1, p_2, p_3, \dots$ 는 모든 소수를 증가하는 순서로 나열한 것이다. $x_0$가 0과 1 사이의 한 실수일 때, 자연수 $k$에 대해 다음과 같이 정의하자. \[ x_k = \begin{cases} \left\{ \dfrac{p_k}{x_{k-1}} \right\} & \text{($x_{k-1} \neq 0$ 일 때)} \\ 0 & \text{($x_{k-1} = 0$ 일 때)} \end{cases}\] 단, $\{x\}$는 $x$의 소수부를 나타낸다($x$의 소수부란, $x – \lfloor x \rfloor$ 를 말한다. 단, $\lfloor x \rfloor$는 $x$보다 작거나 같은 가장 큰 정수이다). 수열 $x_0, x_1, x_2, \dots$ 이 결국 0이 되도록 하는 $x_0$를 모두 구하여라.
삼각형 $ABC$의 바깥으로 변 $BC$, $CA$, $AB$를 각각 밑변으로 하는 이등변삼각형 $BCD$, $CAE$, $ABF$를 그리자. $A$, $B$, $C$에서 각각 직선 $EF$, $FD$, $DE$에 수직하도록 그린 세 직선이 한 점에서 만남을 증명하여라.
어떤 정수 $n$에 대해서도, $Q(-2) = Q(-5) = n$ 을 만족하고 $\{0,1,\dots,9\}$만을 계수로 하는 다항식 $Q$가 유일하게 존재함을 보여라.
볼록$n$각형을 잘라낸다는 것은, 연속한 한 쌍의 변 $AB$, $BC$를 택해 이들을 세 선분 $AM$, $MN$, $NC$로 대체시키는 것을 뜻한다. 단, $M$, $N$은 각각 $AB$와 $BC$의 중점이다. 다시 말해, 삼각형 $MBN$을 잘라내어 새로운 볼록$(n+1)$각형을 얻는 것을 뜻한다. 넓이가 1인 정육각형 $P_6$을 잘라내어 칠각형 $P_7$을 만들자. 다시 $P_7$을 잘라내어 $P_8$을 만들고, 이렇게 계속하자. 잘라내기를 어떠한 식으로 해나가더라도 모든 $n \geq 6$ 에 대해 $P_n$의 넓이는 $1/3$보다 큼을 증명하여라.
모든 양의 실수 $a$, $b$, $c$에 대해 다음을 증명하여라. \[ (a^3 + b^3 + abc)^{-1} + (b^3 + c^3 + abc)^{-1} + (c^3 + a^3 + abc)^{-1} \leq (abc)^{-1}\]
음 아닌 장수들의 수열 $a_1, a_2, \dots, a_{1997}$ 이 $i + j \leq 1997$ 인 모든 $i, j \geq 1$ 에 대해 다음을 만족한다. \[ a_i + a_j \leq a_{i+j} \leq a_i + a_j + 1 \] 모든 $1 \leq n \leq 1997$ 에 대해 $a_n = \lfloor nx \rfloor$ ($nx$ 이하의 가장 큰 정수) 를 만족하는 실수 $x$가 존재함을 보여라.