1998 미국수학올림피아드

첫날 3문제, 둘째날 3문제로 매일 4시간 반동안 문제를 푼다.

(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)

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집합 $\{1, 2, \dots, 1998\}$ 을 $|a_i-b_i| = 1$ 또는 $6$인 집합 $\{a_i,b_i\}$들로 분할하였다($1 \leq i \leq 999$). 다음 합의 일의 자리 숫자가 9임을 증명하여라.\[ |a_1-b_1| + |a_2-b_2| + \cdots + |a_{999}-b_{999}|\]

${\cal C}_1$과 ${\cal C}_2$는 동심원이고 ${\cal C}_2$가 ${\cal C}_1$보다 작다. ${\cal C}_1$ 위의 한 점 $A$로부터 ${\cal C}_2$에 접선 $AB$를 그리자($B \in {\cal C}_2$). 이 접선이 ${\cal C}_1$과 다시 만나는 점을 $C$라 하고, $AB$의 중점을 $D$라 하자. $A$를 지나는 한 직선이 ${\cal C}_2$와 두 점 $E$, $F$에서 만나고, 선분 $DE$와 $CF$의 수직이등분선들이 $AB$ 위의 한 점 $M$에서 만난다고 하자. 비 $AM/MC$를 구하여라.

$a_0, a_1, \dots, a_n$은 다음을 만족하는 구간 $(0,\pi/2)$ 안의 수들이다.\[ \tan(a_0 – \frac\pi4) + \tan (a_1 – \frac\pi4) + \cdots + \tan(a_n – \frac\pi4) \geq n-1\] 다음을 증명하여라.\[ \tan a_0 \tan a_1 \cdots \tan a_n \geq n^{n+1}\]

컴퓨터 화면에 흑백이 번갈아 칠해진 $98 \times 98$ 체스판이 떠있다. 마우스로 이 체스판의 한 격자직사각형 영역을 선택하고 마우스를 클릭하면, 선택된 영역의 모든 칸이 반전된다(검은칸은 흰칸으로, 흰칸은 검은칸으로 색이 바뀐다). 이 체스판 전체를 한 가지 색으로 만들려면 마우스 클릭은 최소 몇 번 필요한가?

각각의 $n \geq 2$ 에 대해, 다음을 만족하는 $n$개의 정수의 집합 $S$가 존재함을 보여라: 모든 서로 다른 $a, b \in S$ 에 대해 $(a-b)^2$이 $ab$를 나눈다.

정수 $n \geq 5$ 에 대해, 다음을 만족하는 가장 큰 정수 $k$를 ($n$에 대한 식으로) 구하여라: 사각형 $A_{i}A_{i+1}A_{i+2}A_{i+3}$들 중 정확히 $k$개가 내접원을 갖는 볼록$n$각형 $A_1A_2 \cdots A_n$이 존재한다(단, $A_{n+j} = A_{j}$ 로 본다).

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