첫날 3문제, 둘째날 3문제로 매일 4시간 반동안 문제를 푼다.
(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)
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$n \times n$ 체스판에 몇 개의 돌이 다음과 같이 놓여져있다.
(a) 돌이 놓여져있지 않은 칸은 반드시 변으로 이웃한 칸 중에 돌이 놓여져있는 칸이 있다.
(b) 돌이 놓여져있는 어떤 두 칸에 대해서도, 이 두 칸을 돌이 놓여져있는 칸들로만 연결하는 열이 존재한다. 단, 두 칸을 연결하는 열이란, 열의 양끝이 주어진 두 칸이고, 이 열의 연속한 두 칸은 항상 한 변을 공유하는 것이다.
이 체스판에는 $(n^2-2)/3$ 개 이상의 돌이 놓여져있음을 증명하여라.
원에 내접하는 사각형 $ABCD$에 대해 다음을 증명하여라.\[ |AB – CD| + |AD – BC| \geq 2|AC – BD|\]
$p > 2$ 는 소수이고 $a$, $b$, $c$, $d$는 $p$의 배수가 아닌 정수들이다. $p$의 배수가 아닌 임의의 정수 $r$에 대해 \[ \{ra/p\} + \{rb/p\} + \{rc/p\} + \{rd/p\} = 2\]가 성립한다고 한다. $a+b$, $a+c$, $a+d$, $b+c$, $b+d$, $c+d$ 중 적어도 둘은 $p$의 배수임을 증명하여라. (주: $\{x\} = x – \lfloor x \rfloor$ 는 $x$의 소수부를 나타낸다.)
$a_1, a_2, \dots, a_n$ 은 다음을 만족하는 실수들이다($n > 3$).\[a_1 + a_2 + \cdots + a_n \geq n \qquad \text{과} \qquad a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2 \geq n^2\] $\max(a_1, a_2, \dots, a_n) \geq 2$ 임을 증명하여라.
두 사람이 다음과 같은 Y2K라는 게임을 한다. $1 \times 2000$ 판에 서로 번갈아가며 문자 S 혹은 O를 빈칸에 하나씩 써 넣는데, SOS라는 연속된 글자를 먼저 만드는 사람이 이긴다. 만약 SOS라는 문자열이 나오지 않으면 무승부가 된다. 두 번째 사람이 필승의 전략을 가짐을 증명하여라.
$ABCD$는 $AB \parallel CD$ 인 등변사다리꼴이다. 삼각형 $BCD$의 내접원 $\omega$가 $CD$와 $E$에서 만난다. $\angle DAC$의 이등분선 위에 $EF \perp CD$ 인 점 $F$를 잡자. 삼각형 $ACF$의 외접원이 직선 $CD$와 다시 만나는 점을 $G$라 할 때, $AFG$가 이등변삼각형임을 증명하여라.