첫날 3문제, 둘째날 3문제로 매일 4시간 반동안 문제를 푼다.
(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)
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모든 실수 $x$, $y$에 대해 다음을 만족하는 실함수 $f$를 매우 볼록하다고 말하자.\[ \frac{f(x) + f(y)}2 \geq f \left( \frac{x+y}2 \right) + |x-y|\] 매우 볼록한 함수는 존재하지 않음을 증명하여라.
$S$는 다음을 만족하는 모든 삼각형 $ABC$들의 집합이다.\[ 5 \left( \frac1{AP} + \frac1{BQ} + \frac1{CR} \right) – \frac3{\min\{ AP, BQ, CR \}} = \frac6r\] 단, $r$은 내접원의 반지름이고 $P$, $Q$, $R$은 내접원이 각각 변 $AB$, $BC$, $CA$에 접하는 점이다. $S$의 삼각형은 모두 서로 닮은 이등변삼각형임을 증명하여라.
빨간 카드 $R$장, 하얀 카드 $W$장, 파란 카드 $B$장이 있다. 한 사람이 이 카드들을 가지고 다음과 같은 게임을 한다. 각각의 턴마다 한 장씩 내고, 그에 대해 받게 되는 벌점을 누적하여 합한다. 파란 카드를 내면 아직 그가 갖고 있는 하얀 카드의 수만큼 벌점을 받고, 하얀 카드를 내면 아직 그가 갖고 있는 빨간 카드의 수의 두 배만큼 벌점을 받는다. 또, 빨간 카드를 내면 아직 그가 갖고 있는 파란 카드의 수의 세 배만큼 벌점을 받는다. 이 사람이 받게 되는 벌점의 최소합을 $R$, $W$, $B$에 대한 식으로 구하고, 그 최소합이 나오도록 게임하는 방법을 모두 찾아라.
다음을 만족하는 최소의 자연수 $n$을 구하여라: $1000 \times 1000$ 체스판에서 $n$개의 칸을 칠하면, 그 중 어떤 세 칸의 중심이 항상 이 체스판의 변과 평행한 두 변을 갖는 직각삼각형의 세 꼭지점을 이룬다.
삼각형 $A_1A_2A_3$의 두 꼭지점 $A_1$와 $A_2$를 지나는 원 $\omega_1$이 있다.
$k = 2, 3, \dots, 7$에 대해, 원 $\omega_{k-1}$에 외접하고 $A_k$와 $A_{k+1}$을 지나는 원을 $\omega_k$라 하자(단, 모든 $n \geq 1$ 에 대해 $A_{n+3} = A_{n}$). $\omega_7 = \omega_1$ 임을 증명하여라.
음 아닌 실수 $a_1, b_1, a_2, b_2, \dots, a_n, b_n$에 대해 다음을 증명하여라.\[ \sum_{i,j = 1}^n \min\{a_ia_j, b_ib_j\} \leq \sum_{i,j = 1}^n \min\{a_ib_j, a_jb_i\}\]