첫날 3문제, 둘째날 3문제로 매일 4시간 반동안 문제를 푼다.
(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)
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8개의 상자 각각에 공 6개씩 들어있다. 각각의 공은 $n$가지 색 중 하나이다. 같은 상자에 있는 공은 모두 서로 색이 다르고, 어떤 두 상자에서도 같은 색의 공은 최대 한 쌍만 있다. 이것이 가능한 $n$의 최소값을 구하고, 그것을 증명하여라.
삼각형 $ABC$의 내접원을 $\omega$라 하자. $\omega$가 변 $BC$와 $AC$에 접하는 점을 각각 $D_1$과 $E_1$이라 하자. $D_2$와 $E_2$는 각각 변 $BC$와 $AC$ 위의 $CD_2=BD_1$ 와 $CE_2=AE_1$ 를 만족하는 점이다. 선분 $AD_2$와 $BE_2$의 교점을 $P$라 하자. 원 $\omega$가 선분 $AD_2$와 두 점에서 만나는데, 그 중 꼭지점 $A$에 가까운 점을 $Q$라 하자. $AQ=D_2P$ 임을 증명하여라.
$a^2+b^2+c^2 + abc = 4$ 인 음 아닌 실수 $a$, $b$, $c$에 대해 다음을 증명하여라.\[ 0 \leq ab+bc+ca-abc \leq 2\]
$P$는 삼각형 $ABC$와 같은 평면 위의 점으로, 선분 $PA$, $PB$, $PC$가 둔각삼각형의 세 변의 길이를 이룬다고 한다. 이 둔각삼각형에서 둔각의 대변이 $PA$라 할 때, $\angle BAC$는 예각임을 증명하여라.
정수들의 집합 $S$가 다음을 만족한다.
(a) $\gcd(a,b) = \gcd(a-2,b-2) = 1$ 인 $a, b \in S$ 가 존재한다.
(b) 모든 $x, y \in S$ 에 대해 $x^2-y \in S$ 이다($x=y$ 일 수도 있다).
$S$는 모든 정수들의 집합임을 증명하여라.
평면 위의 각 점마다 실수를 하나씩 부여하였다. 임의의 삼각형에 대해, 그 내심에 부여된 수는 세 꼭지점에 부여된 수의 산술평균이라고 한다. 이 평면 위의 모든 점에는 똑같은 수가 부여되었음을 증명하여라.