첫날 3문제, 둘째날 3문제로 매일 4시간 반동안 문제를 푼다.

(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)

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$S$를 2002개의 원소를 가진 집합이라 하고 $N$은 $0 \le N \le 2^{2002}$ 를 만족하는 정수라 하자. 모든 $S$의 부분집합을 흑색집합, 백색집합으로 분류할 때
아래의 조건들을 모두 만족하게 할 수 있음을 증명하여라.
(a) 임의의 두 백색집합의 합집합은 백색집합이다.
(b) 임의의 두 흑색집합의 합집합은 흑색집합이다.
(c) 정확히 $N$개의 백색집합이 존재한다.

삼각형 $ABC$가 다음을 만족한다고 하자.\[ \left( \cot \dfrac{A}{2} \right)^2 + \left(2 \cot \dfrac{B}{2} \right)^2 + \left( 3 \cot \dfrac{C}{2} \right)^2 = \left( \dfrac{6s}{7r} \right)^2\] 여기서 $s$와 $r$은 각각 둘레의 절반과 내접원의 반지름이다. 이 때, 삼각형 $ABC$는 세 변의 길이가 모두 서로 소이면서 양의 정수인 어떤 삼각형 $T$와 닮음임을 증명하여라. 그리고, $T$의 세 변의 길이도 결정하여라.

최고차항의 계수가 1이며 차수가 $n$인 임의의 실계수 다항식은, 최고차항의 계수가 1이며 차수가 $n$이고 $n$개의 실근을 갖는 두 개의 다항식의 평균임을 증명하여라.

$\mathbb{R}$은 실수 전체의 집합이다. 임의의 실수 $x$, $y$에 대해 다음을 만족하는 모든 함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 를 결정하여라. \[ f(x^2 – y^2) = xf(x) – yf(y)\]

$a$, $b$를 2보다 큰 정수라 하자.
다음을 만족하는 양의 정수 $k$와 양의 정수들의 유한 수열 $n_1, n_2, \dotsc, n_k$ 가 존재함을 증명하여라.
(a) $n_1 = a$,~ $n_k = b$,
(b) $n_i n_{i+1}$은 $n_i + n_{i+1}$ 로 나누어 떨어진다. ($1 \leq i < k$)

$n \times n$ 개의 우표가 정사각형 모양으로 배열되어 있다. 한 번에 한 열이나 혹은 한 행에서 연속된 세 개의 우표를 뜯어낼 수 있다. 더 이상 이렇게 뜯어낼 수 없을 때까지 뜯어낸 횟수 중 최소값을 $b(n)$이라고 하자. 모든 $n > 0$에 대해 다음을 만족하는 실수 상수 $c$, $d$가 존재함을 증명하여라.\[ \dfrac{1}{7}n^2 – cn \leq b(n) \leq \dfrac{1}{5}n^2 + dn\]