첫날 3문제, 둘째날 3문제로 매일 4시간 반동안 문제를 푼다.

(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)

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한 원에 외접하고 모든 내각과 외각의 크기가 $60^\circ$ 이상인 사각형 $ABCD$가 있다. 이때 다음 부등식을 증명하고 등호가 성립할 조건을 밝혀라. \[ \frac13 \lvert AB^3 – AD^3\rvert \leq \lvert BC^3 – CD^3\rvert \leq 3 \lvert AB^3 – AD^3\rvert.\]

$a_1, \ldots, a_n$은 최대공약수가 1인 정수들이다. 어떤 정수들의 집합 $S$가 다음 세 조건을 모두 만족시키면 $S$는 정수 전체의 집합일 수 밖에 없음을 증명하라.
(a) $a_1, \ldots, a_n \in S$.
(b) 임의의 $i, j = 1, \dotsc, n$ 에 대해(꼭 서로 다를 필요는 없다), $a_i-a_j \in S$.
(c) 임의의 정수 $x$, $y$에 대해, $x, y, x+y \in S$ 이면 $x-y \in S$.

$1 \times k$ 크기의 직사각형을 서로 닮았지만 합동은 아닌 두 개의 다각형으로 오리려고 한다. 가능한 $k \gt 0$ 의 값을 모두 찾아라.

$6 \times 6$ 격자판에서 경미와 남훈이가 어떤 게임을 한다. 각 선수는 자기 차례가 되면 아직 격자판에 나타나지 않은 유리수를 하나 골라 격자판의 남은 빈칸 중 하나에 그 수를 쓴다. 모든 칸에 수가 채워졌으면 각각의 행에서 가장 큰 수가 쓰여진 칸을 검게 칠한다. 그래서 판의 꼭대기에서 밑바닥까지 검은 칸만을 지나는(꼭지점은 지나도 된다) 곡선을 그릴 수 있으면 경미가 이기고, 그렇지 못하면 남훈이가 이긴다. 누구에게 필승의 전략이 있는지 찾고, 그것을 증명하여라.

$a$, $b$, $c$는 양의 실수들이다. 다음 부등식을 증명하여라.\[ (a^5 – a^2 + 3)(b^5 – b^2 + 3)(c^5 – c^2 + 3) \geq (a+b+c)^3\]

사각형 $ABCD$에 원 $\omega$가 내접하고 있다. 원 $\omega$의 중심을 $I$라 하자. \[ (AI + DI)^2 + (BI + CI)^2 = (AB + CD)^2\]이 성립할 때, $ABCD$는 등변사다리꼴임을 증명하여라.