2006 미국수학올림피아드

첫날 3문제, 둘째날 3문제로 매일 4시간 반동안 문제를 푼다.

(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)

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$p$는 소수이고 $s$는 $0 \lt s \lt p$ 인 정수이다. $s$가 $p-1$의 약수가 아닐 때, 또 그 때만, 다음을 만족하는 정수 $m$, $n$이 존재함을 증명하여라:
$0 \lt m \lt n \lt p$ 이고\[ \left\{\frac{sm}p\right\} \lt \left\{\frac{sn}p\right\} \lt \frac sp \] 단, 실수 $x$에 대해, $\lfloor x \rfloor$는 $x$를 넘지 않는 최대의 정수를 나타내고, $\{x\} = x – \lfloor x \rfloor$ 는 $x$의 소수부를 나타낸다.

주어진 자연수 $k$에 대해, 다음을 만족하는 $N$의 최소값을 $k$에 대한 식으로 구하여라:
어떤 $k$개의 합도 $\frac N2$을 넘지 않고 전체의 합이 $N$을 넘는 서로 다른 $2k+1$개의 자연수가 존재한다.

정수 $m$의 가장 큰 소인수를 $p(m)$으로 쓰자. $p(\pm1) = 1$ 이고 $p(0) = \infty$ 인 것으로 하자. $f$는 정수 계수 다항식이고, 어떤 수 $M$이 존재하여, 모든 $n \geq 0$ 에 대해 $p(f(n^2)) – 2n \leq M$ 이 성립한다고 한다(특히, 어떤 $n \geq 0$ 에 대해서도 $f(n^2) \neq 0$ 이어야 한다). 이런 $f$를 모두 구하여라.

전체의 합과 전체의 곱이 모두 $n$이 되는, 둘 이상의 (서로 다를 필요는 없는) 양의 유리수들이 존재한다.
이것이 가능한 양의 정수 $n$을 모두 구하여라.

수직선 위를 1에서 출발하여 다음과 같은 규칙으로 뛰어다니는 개구리가 있다: 이 개구리가 정수 $n$의 위치에 있으면, $n+1$ 또는 $n + 2^{m_n+1}$의 위치로 뛰어옮길 수 있다.
(단, $2^{m_n}$은 $n$을 나누는 가장 큰 2의 거듭제곱이다.)
두 정수 $k \geq 2$ 와 $i \geq 0$ 에 대해, $2^i k$에 도착하기 위해 뛰어야 하는 최소 횟수는 $2^i$에 도착하기 위해 뛰어야 하는 최소 횟수보다 큼을 보여라.

사각형 $ABCD$에서 $AE/ED = BF/FC$ 가 되도록 변 $AB$, $BC$ 위에 각각 점 $E$, $F$를 잡았다. 반직선 $FE$가 반직선 $BA$, $CD$와 각각 $S$, $T$에서 만난다. 삼각형 $SAE$, $SBF$, $TCF$, $TDE$의 외접원들이 한 점에서 만남을 증명하여라.

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