첫날 3문제, 둘째날 3문제로 매일 4시간 반동안 문제를 푼다.
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점 $X$, $Y$에서 만나는 두 원 $\omega_1$, $\omega_2$가 있다. 원 $\omega_1$의 중심을 지나고 원 $\omega_2$와 점 $P$, $Q$에서 만나는 직선을 $\ell_1$, 원 $\omega_2$의 중심을 지나고 원 $\omega_1$와 점 $R$, $S$에서 만나는 직선을 $\ell_2$라 하자. 이때 점 $P$, $Q$, $R$, $S$를 모두 지나는 원이 있다면 그 원의 중심은 직선 $XY$ 위에 있음을 보여라.
양의 정수 $n$이 있다. 집합 $\{-n,-n+1,\ldots,n-1,n\}$의 부분집합 중 $a+b+c=0$이 되는 (서로 같을 수도 있는) 세 수 $a$, $b$, $c$를 포함하지 않는 것의 원소의 크기의 최대값을 구하여라.
각 변이 어떤 정수 $a$, $b$에 대해 $x=a$꼴 직선이나 $y=b$꼴 직선 위에 있는 다각형을 바둑판 다각형이라고 부르자. 바둑판 다각형의 내부는 한 변의 길이가 $1$인 칸으로 분할할 수 있는데, 이웃한 칸은 다른 색이 되도록 회색과 흰색으로 칠할 수 있다. 어떤 바둑판 다각형의 내부를 가로 $1$, 세로 $2$인 도미노로 겹치지 않게 분할하고자 할 때, 그림의 왼쪽에 있는 형태를 포함하지 않으면 좋은 분할이라고 하자. 오른쪽 그림에 $3\times 4$ 바둑판을 분할하는 방법 두 가지를 보여주는데 첫번째 그림은 좋은 분할이고 두 번째 그림은 오른쪽 위 구석에 있는 모양때문에 좋지 않은 분할이다.
(a) 어떤 바둑판 다각형을 가로 $1$, 세로 $2$인 도미노로 분할할 수 있다면 좋은 분할도 존재함을 증명하라.
(b) 이때 좋은 분할은 유일함을 증명하라.
$1$보다 큰 양의 정수 $n$에 대해 부등식 \[ (a_1+a_2+\cdots+a_n)\left(\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots+\frac1{a_n}\right)\le \left(n+\frac12\right)^2\]을 만족시키는 양의 실수 $a_1, a_2,\ldots,a_n$이 있다고 하자. 이때 \[ \max(a_1,a_2,\ldots,a_n)\le 4\min(a_1,a_2,\ldots,a_n)\]임을 보여라.
변 $AB$와 $CD$가 평행한 평행사변형 $ABCD$가 원 $\omega$에 내접하고 있다. 삼각형 $BCD$의 내부에 점 $G$가 있다. 반직선 $AG$와 $BG$가 원 $\omega$와 다시 만나는 점을 각각 $P$, $Q$라 하자. 점 $G$를 지나고 $AB$와 평행한 직선이 직선 $BD$, $BC$와 만나는 점을 각각 $R$, $S$라 하자. 이때 사각형 $PQRS$가 원에 내접할 필요충분조건은 직선 $BG$가 각 $CDB$를 이등분한다는 것임을 증명하라.
상수수열이 아닌 유리수의 무한 수열 $s_1,s_2,s_3,\ldots$이 있다. 즉, $s_1=s_2=s_3=\cdots$이지는 않다. 상수수열이 아닌 유리수의 무한 수열 $t_1,t_2,t_3,\ldots$이 모든 $i$, $j$에 대해 $(s_i-s_j)(t_i-t_j)$이 정수라는 성질을 만족시킨다고 한다. 이때 다음을 만족시키는 유리수 $r$이 존재함을 보여라.
모든 $i$, $j$에 대해 $(s_i-s_j)r$과 $\frac{t_i-t_j}{r}$이 모두 정수이다.