첫날 3문제, 둘째날 3문제로 매일 4시간 반동안 문제를 푼다.
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중심이 $AB$인 반원에 내접한 볼록오각형 $AXYZB$가 있다. 점 $Y$에서 직선 $AX$, $BX$, $AZ$, $BZ$로 내린 수선의 발을 각각 $P$, $Q$, $R$, $S$라 하자. 점 $O$를 선분 $AB$의 중점이라 할 때, 직선 $PQ$와 직선 $RS$가 이루는 예각은 정확히 $\angle XOZ$의 절반임을 보여라.
학생 $n$명이 한 명 뒤에 다른 한 명이 서는 방식으로 원형으로 서있다. 학생들의 키가 $h_1\lt h_2\lt \cdots\lt h_n$이라고 한다. 키가 $h_k$인 학생은 키가 $h_{k-2}$이거나 작은 학생의 바로 뒤에 서 있다면 그 두 학생의 자리를 바꿀 수 있다고 한다. 이 때, $\binom{n}{3}$번 이하로 자리를 바꿔서 더 이상 자리를 바꿀 수 없는 상황이 되게 할 수 있음을 보여라.
$2010$개의 양의 정수 $a_1,a_2,\ldots,a_{2010}$이 모든 서로 다른 $i$, $j$에 대해 부등식 $a_ia_j\le i+j$를 만족시킨다. 이때, 곱 $a_1a_2\cdots a_{2010}$이 가질 수 있는 최대값을 구하여라.
각 $A$가 직각인 삼각형 $ABC$의 변 $AC$, $AB$위에 점 $D$, $E$가 $\angle ABD=\angle DBC$, $\angle ACE=\angle ECB$까 되게 있다. 선분 $BD$와 $CE$가 점 $I$에서 만난다. 선분 $AB$, $AC$, $BI$, $ID$, $CI$, $IE$의 길이가 모두 정수가 될 수 있는가?
홀수인 소수 $p$에 대해 $q=\frac{3p-5}{2}$라 하고 \[ S_q=\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\frac1{5\cdot 6\cdot 7}+\cdots+\frac{1}{q\cdot(q+1)\cdot (q+2)}\]이라 하자. 이때 $\frac1p-2S_q=\frac{m}{n}$이고 $m$, $n$이 서로소라면 $m-n$은 $p$의 배후임을 보여라.
칠판에 $0$이 아닌 정수의 순서쌍 $68$개가 적혀있다. 임의의 양의 정수 $k$에 대해 칠판에는 $(k,k)$와 $(-k,-k)$ 중 많아야 하나만 적혀있다고 한다. 학생은 칠판에서 $136$개의 정수 중 일부를 지울 수 있는데 지울 수 어느 둘을 더해도 그 합은 $0$이 되면 안 되게 해야 한다. $68$개의 순서쌍 중 적어도 하나의 수가 지워진 순서쌍의 수만큼 학생이 점수를 얻는다. 처음에 칠판에 어떻게 적혀있더라고 학생이 항상 $N$점 이상을 얻을 수 있다고 할 때 가능한 $N$의 최대값을 구하여라.