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양의 실수 $a$, $b$, $c$가 $a^2 + b^2 + c^2 + (a + b + c)^2 \le 4$를 만족한다고 하자. 이때 다음 부등식을 증명하라. \[ \frac{ab + 1}{(a + b)^2} + \frac{bc + 1}{(b + c)^2} + \frac{ca + 1}{(c + a)^2} \ge 3.\]

정5각형의 꼭지점에 총 합이 2011이 되도록 정수 5개를 적고 다음과 같은 시행을 반복하는 게임을 한다.

어떤 정수 $m$을 이웃한 두 꼭지점에서 각각 빼서 맞은편 꼭지점에 $2m$을 더한다.

몇번 시행한 후 어떤 꼭지점만 2011이 되고 다른 4개의 꼭지점이 0이 되면 그 꼭지점이 게임을 이긴다고 하자. 이때, 처음 주어진 정수들에 대해, 이 게임은 정확히 하나의 꼭지점만 이길 수 있음을 증명하라.

어느 두 변도 서로 교차하지 않고, 맞은 편 변은 서로 평행하지 않으며, 볼록하지 않은 6각형 $ABCDEF$를 생각하자. 이 6각형의 내각이 $\angle A = 3 \angle D$, $\angle C = 3 \angle F$, $\angle E = 3 \angle B$를 만족하고, 변의 길이가 $AB = DE$, $BC = EF$, and $CD = FA$를 만족한다고 한다. 이때, 직선 $\overline{AD}$, $\overline{BE}$, $\overline{CF}$가 한 점에서 만남을 증명하라.

다음을 증명하거나 반례를 찾으시오.

모든 양의 정수 $n\ge 2$에 대해, $2^{2^n}$을 $2^n-1$로 나눈 나머지는 $4$의 거듭제곱꼴이다.

사각형 $ABCD$ 내부에 점 $P$가 주어져있다고 하자. 사각형 $ABCD$ 내부에 점 $Q_1$과 $Q_2$를 $\angle Q_1 BC = \angle ABP$, $\angle Q_1 CB = \angle DCP$, $\angle Q_2 AD = \angle BAP$, $\angle Q_2 DA = \angle CDP$를 만족하도록 잡자. 이때 직선 $\overline{Q_1Q_2}$가 직선 $\overline{AB}$와 평행할 필요충분조건이 직선 $\overline{Q_1Q_2}$가 직선 $\overline{CD}$와 평행함임을 증명하여라.

$225$개의 원소를 가진 집합 $A$와 그 부분집합 $A_1, A_2, \ldots, A_{11}$이 주어져있다. 이때 모든 $1\le i \le 11$에 대해 $|A_i|=45$이고 모든 $1\le i<j\le 11$에 대해 $|A_i\cap A_j|=9$라면, $|A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_{11}|\ge 165$임을 증명하고 등호가 성립하는 경우를 찾아라.