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어떤 정수 $n\ge 3$에 대해, 임의의 $n$개의 양의 실수 $a_1,a_2,\ldots,a_n$가 부등식 \[\max(a_1,a_2,\ldots,a_n)\le n \cdot\min (a_1,a_2,\ldots,a_n)\]을 만족하면 그 중 어떤 서로 다른 세 수는 반드시 예각삼각형의 세 변의 길이가 된다고 한다. 이러한 것이 가능한 모든 $n$을 구하여라.

정432각형의 꼭지점에 색을 칠하는데, 정확히 108개는 빨강, 108개는 녹색, 108개는 파랑, 나머지 108개는 노랑으로 칠하였다. 이때, 색깔별로 점 3개를 잘 골라 삼각형을 만들면 이렇게 만들어지는 4개의 삼각형이 서로 합동이 되게 할 수 있음을 보여라.

어떤 정수 $n>1$과 0이 아닌 정수의 무한 수열 $a_1,a_2,a_3,\ldots$이 있어서 임의의 양의 정수 $k$에 대해 \[ a_k+2a_{2k}+\cdots+n a_{nk}=0\]이 된다고 하자. 이것이 가능한 $n$을 모두 구하여라.

양의 정수의 집합을 $\mathbb{Z}^+$라 하자. 다음 두 조건을 동시에 만족하는 함수 $f:\mathbb{Z}^+\to \mathbb{Z}^+$를 모두 찾으시오.
(i) 모든 양의 정수 $n$에 대해  $f(n!)=f(n)!$이다.
(ii) 모든 서로 다른 양의 정수 $m$, $n$에 대해 $f(m)-f(n)$은 $m-n$으로 나누어 떨어진다.

평면 위에 삼각형 $ABC$와 점 $P$가 있다고 하자. 점 $P$를 지나는 직선 $\gamma$를 기준으로 직선 $PA$, $PB$, $PC$를 대칭시켜 얻은 직선들이 각각 직선 $BC$, $CA$, $AB$마 만나는 점을 각각 $A’$, $B’$, $C’$이라 하자.이떄 $A’$, $B’$, $C’$은 한 직선 위에 있음을 증명하라.

정수 $n\ge 2$과 실수 $x_1,x_2,\ldots,x_n$이 \[x_1+x_2+\cdots+x_n=0\text{과 }x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1\]을 만족시킨다고 하자. 집합 $\{1,2,\ldots,n\}$의 부분집합 $A$에 대해 $S_A$를 $A$의 원소의 합이라고 하자. (이때, $A$가 공집합이면 $S_A=0$이다.)

임의의 양수 $\lambda$에 대해, $S_A\ge \lambda$가 되는 집합 $A$의 개수는 $\frac{2^{n-3}}{\lambda^2}$ 이하 임을 보여라. 한편 $x_1,x_2,\ldots,x_n$과 $\lambda$가 어떤 조건을 만족해야 등호가 성립하겠는가?