2013 미국수학올림피아드

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삼각형 $ABC$의 변 $BC$, $CA$, $AB$ 위에 각각 점 $P$, $Q$, $R$이 있다. 삼각형 $AQR$, $BRP$, $CPQ$의 외접원을 각각 $\omega_A$, $\omega_B$, $\omega_C$라 하자. 선분 $AP$가 원 $\omega_A$, $\omega_B$, $\omega_C$와 만나는 점을 각각 $X$, $Y$, $Z$라 할 때, \[ \frac{YX}{XZ}=\frac{BP}{PC}\]임을 증명하라.
(2013년 4월 30일, 4시간 30분, 출처)

원 위에 $n$개($n\ge 3$)의 점이 같은 간격으로 놓여있다고 하자. 그 중 한 점을 $A$라 하고, 그 위에 돌을 올려놓는다. 돌을 시계방향으로 다음 점으로 옮기거나 그 다음 점으로 옮기는 일을 작업이라 하자. 따라서 각 점별로 두 가지 작업 방법이 있으니 전체 가능한 작업방법의 수는 $2n$개이다. 이 $2n$개의 작업 중 어느 것도 두 번 사용하지 않고 $A$에서 시작하여 원을 정확히 두 번 돌고 $A$로 되돌아오는 경우의 수를 $a_n$이라 하자. 이때 모든 $n\ge 4$에 대해 \[ a_{n-1}+a_n=2^n\]임을 증명하라.
(2013년 4월 30일, 4시간 30분, 출처)

양의 정수 $n$이 있다. 한쪽 면에는 흰색, 다른 쪽 면에는 검은색이 칠해져있는 총 $n(n+1)/2$개의 납작한 돌을 한 변에 $n$개의 돌이 있는 정삼각형 모양으로 늘어놓았다. 처음에는 모든 돌이 검은색이 보이도록 놓여있다고 한다. 정삼각형의 변과 평행한 직선을 아무렇게나 골라 그 직선과 만나는 모든 돌을 뒤집는 작업을 하고자 한다. 어떤 상태가 가능하다는 말은 작업을 유한번 하면 그 상태로 만들 수 있다는 뜻이다. 어떤 상태 $C$가 가능할 때, $f(C )$를 처음 상태에서 최소 몇 번의 작업을 해야 그 상태로 만들수 있는 최소의 작업의 횟수라 하자. 이때 가능한 모든 상태 $C$ 중 얻을 수 있는 최대의 $f(C )$ 값을 구하여라.
(2013년 4월 30일, 4시간 30분, 출처)

다음을 만족하는 세 실수 $x,y,z\ge 1$을 찾으시오. \[\min(\sqrt{x+xyz},\sqrt{y+xyz},\sqrt{z+xyz})=\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}.\]
(2013년 5월 1일, 4시간 30분, 출처)

두 양의 정수 $m$과 $n$이 있다. 두 수 $cm$과 $cn$을 십진법으로 적었을 때 다음 조건을 만족하게 하는 양의 정수 $c$가 존재함을 증명하라.
$1$, $2$, $\ldots$, $9$ 각각에 대해 두 수에서 그 자리수가 나타나는 횟수가 같다.
(2013년 5월 1일, 4시간 30분, 출처)

삼각형 $ABC$의 변 $BC$위에서 아래 조건을 만족시키는 점 $P$를 모두 찾으시오: 삼각형 $PAB$와 $PAC$의 외접원과 동시에 외접하는 두 직선과 직선 $PA$의 교점을 각각 $X$, $Y$라 하면, \[ \left(\frac{PA}{XY}\right)^2+\frac{PB\cdot PC}{AB\cdot AC}=1\]이다.
(2013년 5월 1일, 4시간 30분, 출처)

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