2014 미국수학올림피아드

첫날 3문제, 둘째날 3문제로 매일 4시간 반동안 문제를 푼다.

출처

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네 실수 $a$, $b$, $c$, $d$가 $b-d\ge 5$이면서 다항식 $P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$의 모든 해 $x_1,x_2,x_3,x_4$가 실수가 되게 한다. 이때 $(x_1^2+1)(x_2^2+1)(x_3^2+1)(x_4^2+1)$의 값이 될 수 있는 최솟값을 구하여라.

정수 전체의 집합을 $\mathbb Z$라 하자. 모든 $x,y\in \mathbb Z$, $x\neq 0$에 대해 \[ x f(2f(y)-x)+y^2 f(2x-f(y))=\frac{f(x)^2}{x}+f(yf(y))\]를 만족시키는 함수 $f:\mathbb Z\to \mathbb Z$를 모두 구하여라.

평면 위에 무한대의 점 \[ \ldots, P_{-3}, P_{-2}, P_{-1}, P_0, P_1, P_2, P_3,\ldots\]을 잘 잡아서 다음 성질이 성립하게 할 수 있음을 보여라.
서로 다른 세 정수 $a$, $b$, $c$에 대해 점 $P_a$, $P_b$, $P_c$가 한 직선 위에 있을 필요충분조건은 $a+b+c=2014$이다.

양의 정수 $k$가 주어져있다. 무한히 펼쳐진 평면이 같은 크기의 정육각형 칸으로 가득 채워져있는 게임판 위에서 두 사람 $A$, $B$가 아래와 같은 게임을 한다. 처음에는 모든 칸이 비워져있다. $A$부터 시작해서 돌아가면서 자기 차례가 되면 $A$는 비어있는 이웃한 두 칸을 골라서 돌을 하나씩 넣을 수 있으며, $B$는 게임판 위의 아무 돌이나 골라 제거할 수 있다. 어느 순간이라도 한 직선 위에 있는 연속한 $k$개의 칸 각각에 돌이 있으면 $A$가 이긴다. 이때, $A$가 유한번 게임에 참여해서는 이길 수 없게 하는 최소의 $k$값을 구하거나, 그러한 $k$ 값이 존재하지 않음을 증명하라.

수심이 $H$인 삼각형 $ABC$가 있다. 각 $BAC$의 이등분선이 삼각형 $AHC$의 내접원과 다시 만나는 점을 $P$라 하자. 삼각형 $APB$의 내심을 $X$, 삼각형 $APC$의 수심을 $Y$라 하자. 이때 선분 $XY$의 길이는 삼각형 $ABC$의 내접원의 반지름과 같음을 증명하라.

다음 성질을 만족시키는 $0$보다 큰 상수 $c$가 존재함을 증명하여라.
양의 정수 $a$, $b$, $c$가 모든 $i,j\in \{0,1,\ldots,n\}$에 대해 $\operatorname{gcd}(a+i,b+j)>1$을 만족시키면, $\min\{a,b\}\gt c^n \cdot n^{\frac{n}{2}}$이다.

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