2016년 4월 19일-20일.
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집합 $S$의 공집합이 아닌 서로 다른 부분집합 $X_1$, $X_2$, $\ldots$, $X_{100}$이 있다. 모든 $i\in \{1,2,\ldots,99\}$에 대하여, 집합 $X_i$와 $X_{i+1}$은 공통인 원소가 없으며 그 합집합은 $S$와 다르다고 한다. 이러한 상황이 가능할 $S$의 원소의 갯수의 최솟값을 구하라.
임의의 양의 정수 $k$에 대하여 \[ (k^2)! \cdot \prod_{j=0}^{k-1} \frac{j!}{(j+k)!}\]은 정수임을 보여라.
예각삼각형 $ABC$의 $B$에 대한 방심을 $I_B$, $C$에 대한 방심을 $I_C$, 외심을 $O$라 하자. 변 $AC$ 위의 두 점 $E$, $Y$를 잘 잡았더니 $\angle ABY=\angle CBY$이며 $BE$와 $AC$가 수직으로 만났다. 마찬가지로 변 $AB$ 위의 두 점 $F$, $Z$를 잘 잡았더니 $\angle ACZ=\angle BCZ$이며 $CF$와 $AB$가 수직으로 만났다. 직선 $I_BF$와 $I_CE$의 교점을 $P$라 하자. 이때 직선 $PO$와 $YZ$는 수직으로 만난다는 것을 보여라.
모든 실수 $x$, $y$에 대하여 \[ (f(x)+xy)\cdot f(x-3y)+(f(y)+xy)\cdot f(3x-y)=(f(x+y))^2\]을 만족시키는 함수 $f:\mathbb R\to\mathbb R$을 모두 구하라.
삼각형 $ABC$에 내접한 정오각형 $AMNPQ$의 변 $AB$ 위에 점 $M$, $AC$ 위에 점 $Q$, $BC$ 위에 점 $N$, $P$가 있다. 직선 $MN$과 $PQ$의 교점을 $S$라 하고, $\angle MSQ$의 이등분선을 $\ell$이라 하자.
이때 삼각형 $ABC$의 내심과 외심을 잇는 직선은 $\ell$에 평행함을 보여라.
양의 정수 $n$과 $k$가 $n\ge k\ge2$를 만족시키도록 주어져 있다. 당신은 마법사와 아래와 같은 게임을 한다.
마법사는 $2n$개의 카드를 가지고 있다. 각각의 $i=1,2,\ldots,n$에 대해, $i$라고 표시된 카드가 두 장 있다. 처음에 마법사는 모든 카드를 수가 적힌 면이 보이지 않도록 뒤집어서 한 줄로 늘어놓는데, 그 순서가 어떤 것인지 알 수 없다.
당신은 다음과 같은 시행을 여러번 할 수 있다: 당신이 카드 $k$개를 아무렇게나 가리키면, 마법사는 그 가리킨 카드를 모두 뒤집는다. 만일 그 카드 중 어느 두 장이라도 같은 것이 있다면 게임이 끝나고 당신이 이긴다. 같은 것이 없다면 당신이 잠깐 눈을 감은 동안 마법사는 그 카드를 다시 뒤집은 후 아무렇게나 다시 섞어서 한 줄로 늘어놓는다. 그후 다시 당신 차례가 된다.
만일 최대 $m$번의 시행만으로 항상 이 게임에서 마법사가 어떻게 하더라도 당신이 이길 수 있는 전략이 있다면 이 게임을 이길 수 있는 게임이라고 하자.
어떤 $n$과 $k$ 값에 대하여 이 게임이 이길 수 있는 게임이 되는가?