$\angle A$를 직각으로 하는 직각삼각형 $ABC$에서 $AD$는 빗변 $BC$에 내린 높이이다. $\triangle ABD$ 와 $\triangle ACD$의 두 내심을 잇는 직선이 변 $AB$, $AC$와 만나는 점을 각각 $K$, $L$이라 하자. $S$와 $T$를 각각 $\triangle ABC$와 $\triangle AKL$의 넓이라고 할 때, $S \geq 2T$ 임을 증명하여라.

$a$, $b$, $c$가 삼각형의 세 변의 길이일 때, 다음 부등식을 증명하여라. \[ a^2b(a-b) + b^2c(b-c) + c^2a(c-a) \geq 0 \] 등호가 성립할 조건도 구하여라.

$P$는 삼각형 $ABC$ 내부의 점이다. 점 $P$에서 직선 $BC$, $CA$, $AB$에 내린 수선의 발을 각각 $D$, $E$, $F$라 한다. 다음의 값을 최소로 만드는 점 $P$를 모두 찾아라. \[ \frac{BC}{PD} + \frac{CA}{PE} + \frac{AB}{PF} \]

점 $O$는 직선 $g$ 위의 점이고, $\overrightarrow{OP_1}, \overrightarrow{OP_2}, …, \overrightarrow{OP_n}$은 $g$를 포함하는 평면 위에 있는 단위벡터들이며, 점 $P_1, P_2, …, P_n$은 직선 $g$에 대해 같은 쪽 영역에 놓여 있다. $n$이 홀수일 때 다음 부등식을 증명하여라. \[ \left| \overrightarrow{OP_1} + \overrightarrow{OP_2} + \cdots + \overrightarrow{OP_n} \right| \geq 1 \] 단, $\left|\overrightarrow{OM}\right|$은 벡터 $\overrightarrow{OM}$의 길이를 나타낸다.