예각삼각형 $ABC$의 수심을 $H$라 하자. 점 $A$, $B$, $C$에서 맞은 편 변으로 내린 수선의 발이 외접원과 만나는 다른 점을 각각 $H_A$, $H_B$, $H_C$라 하자. 삼각형 $H_A H_B H_C$의 넓이는 삼각형 $ABC$의 넓이를 넘지 않음을 보여라.
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2012 이란 TST 시험1 둘째날 3번문제
원$O$에 내접한 오각형 $ABCDE$를 생각하자. 원 $O_a$, $O_b$, $O_c$, $O_d$, $O_e$를 각각 원 $O$를 직선 $AB$, $BC$, $CD$, $DE$, $EA$로 대칭시켜 얻은 것이라 하자. 점 $A’$은 $O_a$와 $O_e$가 두 번째로 만나는 점이라 하자. 마찬가지로 점 $B’$, $C’$, $D’$, $E’$도 정의한다. 이때 다음을 증명하라. \[ 2\le \frac{S_{A’B’C’D’E’}}{S_{ABCDE}}\le 3. \] 여기서 $S_X$는 $X$의 넓이를 뜻한다.
2011 캐나다수학올림피아드 3번문제
정사각형을 유한개의 흰색 또는 빨강색 직사각형으로 나누되, 직사각형의 각 변은 정사각형의 변과 평행하도록 나누었다. 각각의 흰색 직사각형 내부에는 그 직사각형의 폭을 높이로 나눈 값을 적자. 각각의 빨강색 직사각형 내부에는 그 직사각형의 높이를 폭으로 나눈 값을 적자. 그 후 모든 적힌 숫자들의 합을 $x$라 하자. 만일 전체 흰색 직사각형의 면적의 합이 전체 빨강색 직사각형의 면적의 합과 같다면, $x$의 가능한 값 중 최솟값은 무엇인가?
(2011년 3월 23일)
2012 아시아태평양수학올림피아드 1번문제
삼각형 $ABC$의 내부의 점 $P$에 대하여, 직선 $AP$와 변 $BC$의 교점을 $D$, 직선 $BP$와 변 $CA$의 교점을 $E$, 직선 $CP$와 변 $AB$의 교점을 $F$라 하자. 세 삼각형 $PFA$, $PDB$, $PEC$의 넓이가 각각 $1$일 때, 삼각형 $ABC$의 넓이는 $6$임을 보여라.
(2012년 3월)
2010 제23회 한국수학올림피아드 최종시험 1번문제
임의의 삼각형 $ABC$의 내접원이 변 $BC$, $CA$ ,$AB$와 접하는 점을 각각 $P$, $Q$, $R$이 라하자. 삼각형 $ABC$의 넓이를 $T$, 둘레의 길이를 $L$이라 할 때, 다음 부등식이 성립함을 보여라.
\[ \left(\frac{AB}{PQ}\right)^3+\left(\frac{BC}{QR}\right)^3+\left(\frac{CA}{RP}\right)^3\ge \frac2{\sqrt{3}} \cdot \frac{L^2}{T}.\]
(2010년 3월 27일, 출처, 4시간 30분)
1995 제8회 한국수학올림피아드 최종시험 4번문제
삼각형 $ABC$의 외접원의 중심을 $O$, 반지름의 크기를 $R$이라 한다. 삼각형이 놓인 평면위의 임의의 점 $P$를 잡고, $P$에서 세 변 또는 그 연장선 위에 내린 수선의 발을 각각 $A_1, B_1, C_1$ 이라 한다. $\overline{OP}=d$ 라 할 때 $\frac{(\triangle A_1B_1C_1)}{(\triangle ABC)}$의 값을 $R, d$ 의 식으로 나타내어라. 단, $(\triangle ABC)$는 $\triangle ABC$ 의 넓이이다.
(1995년 4월 16일)