$n$($n\ge 4$)개의 팀이 있는 축구 토너먼트 대회에서 각 쌍의 팀은 정확히 한 번 경기를 한다고 한다. 토너먼트 대회가 끝난후 최종 점수판에서 각 팀의 점수를 봤더니 등차수열을 이루고 각 팀이 그 다음 팀보다 정확히 1점이 더 많았다고 한다. 최저점수를 기록한 팀이 가질 수 있는 최고의 점수를 구하라. 단, 각 경기에서 이긴 팀은 3점을, 비긴 팀은 1점을, 진 팀은 0점을 얻는다고 한다.
(2013년 4월 8일, 4시간, 4문제, 출처)
태그 보관물: 등차수열
2013 중국 TST2 5번문제
다음 성질을 만족하는 양의 정수 $m$ 중 가장 큰 것을 찾아라.
양의 정수가 모두 정확히 한번씩 나타나는 임의의 양의 정수의 수열 $a_1,a_2,a_3,\ldots$에는 항상 길이가 $m$이고 공차가 홀수인 등차수열을 이루는 부분수열 $a_{i_1}, a_{i_2},\ldots,a_{i_m}$ ($i_1\lt i_2\lt \cdots \lt i_m$)이 존재한다.
(2013년 3월 19일, 출처, 4시간 30분)
2013 아시아태평양수학올림피아드 3번문제
총 $2k$개의 실수 $a_1,a_2,\ldots,a_k,b_1,b_2,\ldots,b_k$에 대해 수열 $X_n$을 \[ X_n=\sum_{i=1}^k [a_i n+b_i] \quad (n=1,2,\ldots)\]처럼 정의하자. 이때 $X_n$이 등차수열을 이룬다면, $\sum_{i=1}^k a_i$는 반드시 정수임을 증명하라. 단 $[r]$은 $r$보다 크지 않은 최대의 정수이다.
(2013년 3월 12일, 4시간, 출처)
2012 제73회 William Lowell Putnam 수학경시대회 A4
두 정수 $q>0$와 $r$이 주어져있고 $A$, $B$는 실수축 위에 있는 두 구간이라 하자. $b\in B$와 $m$에 의해 표현되는 모든 $b+mq$꼴의 수의 집합을 $T$라 하자. $ra\in T$가 되게 하는 모든 정수 $a$의 집합을 $T$라 하자. 이때 $A$와 $B$의 길이의 곱이 $q$보다 작다면, $A$와 어떤 등차수열과의 교집합이 정확히 $S$와 같음을 보여라.
(2012년 12월 1일)