$n^2+1$이 $m$의 배수이면서 $m^2+1$이 $n$의 배수가 되는 양의 정수의 순서쌍 $(m,n)$이 무한히 많은가?
(2013년 1월 31일, 3시간 반, 출처)
태그 보관물: 배수
2013 필리핀수학올림피아드 4번문제
양의 정수 $p\le q$가 주어져 있다. 이때 $a^p$나 $a^q$ 둘 중 하나가 $p$의 배수라면 다른 수 역시 $p$의 배수임을 보여라.
(2013년 1월 16일, 4시간, 출처)
2012 중국여자수학올림피아드 8번문제
$\displaystyle \binom{2012}{k}=\frac{2012!}{k! \, (2012-k)!}$이 $2012$의 배수가 되는 정수 $k\in \{0,1,2,\ldots,2012\}$의 개수를 구하여라.
(2012년 8월 11일, 광저우, 둘째날 4시간동안 5~8번 문제)
2012 중국여자수학올림피아드 3번문제
다음 조건을 만족하는 정수의 쌍 $(a,b)$를 모두 구하여라:
모든 양의 정수 $n$에 대하여 $a^n+b^n+1$들을 모두 나누는 정수 $d\ge 2$가 존재한다.
(2012년 8월 10일, 광저우, 첫째날 4시간동안 1~4번 문제)
2012 국제대학생수학경시대회(IMC) 둘째날 3번문제
$(2012n)!$이 $n!+1$의 배수가 되게 하는 양의 정수의 집합은 유한집합인가 무한집합인가?
(2012년 7월 29일 불가리아 Blagoevgrad. 5문제/5시간)
2012 미국수학올림피아드 4번문제
양의 정수의 집합을 $\mathbb{Z}^+$라 하자. 다음 두 조건을 동시에 만족하는 함수 $f:\mathbb{Z}^+\to \mathbb{Z}^+$를 모두 찾으시오.
(i) 모든 양의 정수 $n$에 대해 $f(n!)=f(n)!$이다.
(ii) 모든 서로 다른 양의 정수 $m$, $n$에 대해 $f(m)-f(n)$은 $m-n$으로 나누어 떨어진다.