다음을 만족시키는 양의 정수 $k$가 존재함을 증명하라: 정수 $a$, $b$, $c$, $d$, $e$에 대해 $a^n+b^n+c^n-d^n-e^n-f^n$이 모든 $1\le n\le k$에 대해 $m$의 배수라 할때, $a^n+b^n+c^n-d^n-e^n-f^n$이 모든 양의 정수 $n$에 대해 $m$의 배수임을 증명하라.
(2012년 1월 26일, 3시간 반동안 4문제)
다음을 만족시키는 양의 정수 $k$가 존재함을 증명하라: 정수 $a$, $b$, $c$, $d$, $e$에 대해 $a^n+b^n+c^n-d^n-e^n-f^n$이 모든 $1\le n\le k$에 대해 $m$의 배수라 할때, $a^n+b^n+c^n-d^n-e^n-f^n$이 모든 양의 정수 $n$에 대해 $m$의 배수임을 증명하라.
(2012년 1월 26일, 3시간 반동안 4문제)
정수 $p^p + q^q + 1$이 $pq$의 배수가 되도록 하는 소수의 쌍 $(p, q)$를 모두 구하여라.
(2007년 3월 25일, 4시간 30분, 3문제, 출처)
다음의 조건을 만족시키는 자연수 $n$을 모두 구하여라.
(조건) $2^n-1$이 $3$의 배수이고, $(2^n-1)/3$이 적당한 정수 $m$에 대하여 $4m^2+1$의 약수이다.
(1999년 4월 17일, 출처4시간 30분)