$a_1, a_2, …, a_n$는 실수인 상수들이고, $x$는 실수인 변수이며,\[ f(x) = \cos(a_1+x) + \frac12\cos(a_2+x) + \frac14\cos(a_3+x) + \cdots + \frac1{2^{n-1}}\cos(a_n+x) \]이다. $f(x_1)=f(x_2)=0$ 이면, 적당한 정수 $m$에 대해 $x_2-x_1=m\pi$꼴임 증명하여라.
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1963 국제수학올림피아드 5번문제
$\cos\frac\pi7 – \cos\frac{2\pi}7 + \cos\frac{3\pi}7 = \frac12$ 임을 증명하여라.
1962 국제수학올림피아드 4번문제
방정식 $\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x = 1$ 을 풀어라.
1961 국제수학올림피아드 3번문제
자연수 $n$에 대해, 방정식 $\cos^nx – \sin^nx = 1$ 을 풀어라.
2007 아일랜드 수학올림피아드 2번문제
삼각형 $ABC$가 직각삼각형일 때, 또 그 때만 다음 식이 성립함을 증명하여라.\[ \sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = 2\]
2013 베트남 수학올림피아드 1번문제
다음 두 식을 동시에 만족하는 모든 $x$, $y$를 구하여라.
\[ \sqrt{\sin^2 x +\frac{1}{\sin^2 x}} + \sqrt{\cos^2 y +\frac{1}{\cos^2 y}} =\sqrt{\frac{20y}{x+y}}\]\[ \sqrt{\sin^2 y +\frac{1}{\sin^2 y}} + \sqrt{\cos^2 x +\frac{1}{\cos^2 x}} =\sqrt{\frac{20x}{x+y}}\]
(5점, 2013년 1월 11일, 총 180분)